Как разоблачить обман (геометрический)?

[DrVirogov]

Теорема Понселе-Штейнера утверждает, что все построения на плоскости можно выполнить с помощью одной только линейки, если на плоскости задана окружность с центром. Вместо окружности можно нарисовать произвольный эллипс и, все равно, геометрические построения будут прекрасно получаться. Если рассматривать плоскость вместе с бесконечно удаленной прямой, то и центр можно поместить в произвольной точке внутри эллипса. Чертежник, вооруженный только линейкой этого не заметит.
А если вместо окружности подсунуть линию с более серьезными искажениями? Конечно, совсем уж наглый обман легко распознать. Например, если "окружность" будет не выпуклой, с углами, с прямолинейными участками или центр задать не внутри, а снаружи.
То есть, можно ли с помощью какого-нибудь геометрического построения убедиться, что данная гладкая замкнутая линия и точка внутри нее ниразу не окружность с центром?

[Stan Slapenarski]

Ну, если эллипс построениями не отличается от окружности, то ничего с этим не поделаешь. Отличить же кривую от эллипса (или, во всяком случае, от кривых довольно узкого класса), возможно, можно «с вероятностью 1» следующим образом. Последовательно выбирать случайным образом тройки точек на кривой, и строить точку пересечения срединных перпендикуляров соответствующего треугольника. Если все эти точки будут совпадать с заданным «центром» «произвольной» кривой, то мне представляется это странным. Или построения, проводимые по аналогии с доказательством теоремы Понселе-Штейнера как раз и должны давать такой результат?

С другой стороны, может быть, что более достоверно распознать обман, чем «с вероятностью 1» может быть проблематично, ибо может оказаться, что все отдельные точки, получаемые при «распознающем» построении, совпадают с точками пересечения данной кривой и окружности с данным центром.

[DrVirogov]

"Разоблачить с вероятностью 1" не совсем то, что имелось в виду. Вопрос в том, всегда ли построения Понселе-Штейнера приведут к противоречию, если заданный овал не является коническим сечением или же существует такая линия, что при ЛЮБОМ геометрическом построении с её участием ВСЕ инцидентности будут такими же, как и при аналогичном построении с использованием окружности. Я думаю, что такой линии нет,но придумать конструкцию для доказательства пока не удалось.
Идея со срединными перпендикулярами мне не кажется особенно перспективной, ведь для проведения перпендикуляра придётся использовать "центр окружности" и, скорее всего, они будут пересекаться в этой точке "по определению".

[Stan Slapenarski]

Цитата:

Я думаю, что такой линии нет,но придумать конструкцию для доказательства пока не удалось.

У меня есть следующие идеи для такого доказательства. Прежде всего я замечу, что если любые шесть точек некоторого множества принадлежат коническому сечению, то и все они принадлежат одному коническому сечению. Далее следует найти и применить аффинную версию обратной теоремы Паскаля, проективная формулировка которой такова: «Если три точки пересечения противоположных сторон шестиугольника лежат на одной прямой, то все его шесть вершин принадлежат одному и тому же ряду второго порядка».