Асимптотика решений уравнения

[zychnyy]

Пусть $\{ x_n\} $ - возрастающая последовательность положительных корней уравнения

$\tg x=x$.

Доказать, что при $n\to \infty $

$x_n=\frac{\pi }{2}+\pi n+o(1)$.

(Оффтоп)

Не первый раз встречаю, а как вывести асимптотику не представляю.

[ИСН]

Начнём с ерунды. Между чем и чем находится $x_n$?

[zychnyy]

ИСН
эээ... - $\pi n<x_n<\pi (n+\frac{1}{2}),\ n=1,2,... $.

[ИСН]

Это у Вас что получается - в среднем примерно один корень на каждые $\pi\over2$?

[zychnyy]

ИСН
Поспешил. Поправил.

[ИСН]

Ага, так-то лучше. Щас...

-- Вт, 2013-04-02, 16:47 --

Теперь такое дело. $x_n=\tg x_n$, но толку в этом мало. Надо как-то исхитриться и переписать это через арктангенс.

[zychnyy]

Ага, арктангенс, который в ряд...? $x_n=\arctg x_n$.

[ИСН]

Вы график арктангенса видели когда-нибудь? Сколько у такого уравнения корней? Три? Двадцать? Ни одного?

[zychnyy]

Касание происходит только в начале координат.

[ИСН]

То есть корень один. А у Вас в оригинальном уравнении их бесконечно много. Это возвращает нас к вопросу, как всё-таки выразить их через арктангенс.

[Алексей К.]

А я бы заменил $x_n$ на $\varepsilon_n$: $x_n=\pi\left(n+\frac12\right)-\varepsilon_n$, и возился бы с маленькими епсилонами.

-- 02 апр 2013, 17:31:53 --

Глядишь, там и вожделенные арктангенсы как-то пролезли бы.

-- 02 апр 2013, 17:32:41 --

ИСН, можете удалить моё сообщение, если оно мешает процессу поиска асимптотики.

[mihailm]

(Оффтоп)

zychnyy в сообщении #704787 писал(а):

Касание происходит только в начале координат.

Ну накидайте на координатную сетку еще арктангенсов, вам что жалко, ИСН же просит)

[zychnyy]

(Оффтоп)

Нужно что-то куда-то повернуть?

-- 02.04.2013, 20:28 --

Ну, хорошо: $x_n=\arctg x_n+\pi n$. Как такой вариант?

[ИСН]

Во!
Теперь следующий вопрос: при росте n (а с ним и $x_n$) куда стремится первое слагаемое?

[zychnyy]

ИСН к $\frac{\pi }{2}$.