2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Асимптотика решений уравнения
Сообщение02.04.2013, 14:10 
Пусть $\{ x_n\} $ - возрастающая последовательность положительных корней уравнения
$\tg x=x$.

Доказать, что при $n\to \infty $
$x_n=\frac{\pi }{2}+\pi n+o(1)$.

(Оффтоп)

Не первый раз встречаю, а как вывести асимптотику не представляю. :-)

 
 
 
 Re: Асимптотика решений уравнения
Сообщение02.04.2013, 14:13 
Аватара пользователя
Начнём с ерунды. Между чем и чем находится $x_n$?

 
 
 
 Re: Асимптотика решений уравнения
Сообщение02.04.2013, 15:38 
ИСН
эээ... - $\pi n<x_n<\pi (n+\frac{1}{2}),\ n=1,2,... $.

 
 
 
 Re: Асимптотика решений уравнения
Сообщение02.04.2013, 15:41 
Аватара пользователя
Это у Вас что получается - в среднем примерно один корень на каждые $\pi\over2$?

 
 
 
 Re: Асимптотика решений уравнения
Сообщение02.04.2013, 15:43 
ИСН
Поспешил. Поправил. :-)

 
 
 
 Re: Асимптотика решений уравнения
Сообщение02.04.2013, 15:45 
Аватара пользователя
Ага, так-то лучше. Щас...

-- Вт, 2013-04-02, 16:47 --

Теперь такое дело. $x_n=\tg x_n$, но толку в этом мало. Надо как-то исхитриться и переписать это через арктангенс.

 
 
 
 Re: Асимптотика решений уравнения
Сообщение02.04.2013, 15:55 
Ага, арктангенс, который в ряд...? :-) $x_n=\arctg x_n$.

 
 
 
 Re: Асимптотика решений уравнения
Сообщение02.04.2013, 16:10 
Аватара пользователя
Вы график арктангенса видели когда-нибудь? Сколько у такого уравнения корней? Три? Двадцать? Ни одного?

 
 
 
 Re: Асимптотика решений уравнения
Сообщение02.04.2013, 16:23 
Касание происходит только в начале координат.

 
 
 
 Re: Асимптотика решений уравнения
Сообщение02.04.2013, 16:29 
Аватара пользователя
То есть корень один. А у Вас в оригинальном уравнении их бесконечно много. Это возвращает нас к вопросу, как всё-таки выразить их через арктангенс.

 
 
 
 Re: Асимптотика решений уравнения
Сообщение02.04.2013, 16:30 
А я бы заменил $x_n$ на $\varepsilon_n$: $x_n=\pi\left(n+\frac12\right)-\varepsilon_n$, и возился бы с маленькими епсилонами.

-- 02 апр 2013, 17:31:53 --

Глядишь, там и вожделенные арктангенсы как-то пролезли бы.

-- 02 апр 2013, 17:32:41 --

ИСН, можете удалить моё сообщение, если оно мешает процессу поиска асимптотики.

 
 
 
 Re: Асимптотика решений уравнения
Сообщение02.04.2013, 16:44 

(Оффтоп)

zychnyy в сообщении #704787 писал(а):
Касание происходит только в начале координат.

Ну накидайте на координатную сетку еще арктангенсов, вам что жалко, ИСН же просит)

 
 
 
 Re: Асимптотика решений уравнения
Сообщение02.04.2013, 17:04 

(Оффтоп)

Нужно что-то куда-то повернуть?


-- 02.04.2013, 20:28 --

Ну, хорошо: $x_n=\arctg x_n+\pi n$. Как такой вариант?

 
 
 
 Re: Асимптотика решений уравнения
Сообщение02.04.2013, 17:46 
Аватара пользователя
Во! Изображение Изображение
Теперь следующий вопрос: при росте n (а с ним и $x_n$) куда стремится первое слагаемое?

 
 
 
 Re: Асимптотика решений уравнения
Сообщение02.04.2013, 18:53 
ИСН к $\frac{\pi }{2}$. :oops:

 
 
 [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group