Включение вектора в базис

[zychnyy]

*Доказать, что любой ненулевой вектор $x$ конечномерного линейного пространства может быть включен в какой-нибудь базис.

(Оффтоп)

С чего начать?

[Null]

Докажите что к $n$ линейно независимым векторам, если они не образуют базис, можно добавить еще 1 линейно независимый с ними вектор.

[zychnyy]

Обозначим произвольный базис: $e=({e}_{1},{e}_{2},...,{e}_{n})$.
Тогда, в свою очередь, $x={x}_{1}{e}_{1}+...+{x}_{n}{e}_{n}$, где ${{x}_{1}}^{2}+...+{{x}_{n}}^{2}\neq 0$.
Если заменить ${e}_{k}$ на $x$, то система векторов $e=({e}_{1},...,{e}_{k},...,{e}_{n})$ так и останется базисом, в силу "невырожденности" вектора ${e}_{k}$.
Null

(Оффтоп)

Примерно в ту сторону?

[AV_77]

Примерно в ту. Посмотрите теорему Штейница о замене.

[AGu]

zychnyy в сообщении #704451 писал(а):

так и останется базисом

Неправда. Например, если $k\ne 1$, а $x=e_1$, то после замены $e_k$ на $x$ базис уменьшится на один вектор. А если $k\ne 1,2$, а $x=e_1+e_2$, то после замены $e_k$ на $x$ один из элементов этого якобы базиса будет выражаться через другие. Словом, есть куча случаев, когда такая замена не приведет к базису.

А у вас в курсе случайно не было какой-нибудь теоремы о линейно независимых множествах и их связи с базисами? Если была -- попробуйте ей воспользоваться.

[zychnyy]

Цитата:

Посмотрите теорему Штейница о замене.

AV_77 а без нее никак?
AGu да, действительно.

Цитата:

А у вас в курсе случайно не было какой-нибудь теоремы о линейно независимых множествах и их связи с базисами? Если была -- попробуйте ей воспользоваться.

Я пытаюсь самостоятельно осваивать. Курс был, но поверхностный.
Кстати, в этом пособии(откуда взята задача) есть указание к решению задачи. В этом указании меня смутило следующее: ${x}_{i}\neq 0$. И почему?

[AV_77]

zychnyy в сообщении #704515 писал(а):

а без нее никак?

Можно и без нее. Но вы все же посмотрите доказательство, оно как раз на вашей идее основано

А можно пойти путем, который предлагал Null и построить базис начиная с вашего вектора.

[zychnyy]

Цитата:

Можно и без нее. Но вы все же посмотрите доказательство, оно как раз на вашей идее основано

AV_77 впечатлило. Постараюсь разобраться с доказательством.

Цитата:

А можно пойти путем, который предлагал Null и построить базис начиная с вашего вектора.

AV_77 эммм... Через дополнение ненулевого вектора до базиса?

[AV_77]

zychnyy в сообщении #704531 писал(а):

Через дополнение ненулевого вектора до базиса?

Конечно. Сначала добавим вектор, линейно независимый от первого, затем вектор, линейно независимый от первых двух и т.д.

[zychnyy]

(Оффтоп)

Всем ответившим - спасибо.

[stanislav71]

zychnyy в сообщении #704451 писал(а):

Обозначим произвольный базис: $e=({e}_{1},{e}_{2},...,{e}_{n})$.
Тогда, в свою очередь, , где ${{x}_{1}}^{2}+...+{{x}_{n}}^{2}\neq 0$.
Если заменить ${e}_{k}$ на $x$, то система векторов $e=({e}_{1},...,{e}_{k},...,{e}_{n})$ так и останется базисом, в силу "невырожденности" вектора ${e}_{k}$.
Null

(Оффтоп)

Примерно в ту сторону?

данный вектор разложенный по базису {${e_n}$} в пространстве $V_n$
$x={x}_{1}{e}_{1}+...+{x}_{n}{e}_{n}$
вам нужно доказать, что существует другой базис скажем {${e'_n}$}
для которого все скалярные произведения с n-1 векторами базиса {${e_n}$} будут давать 0, а $(x,e'_{n})=1$ (для нормированного вектора x)

[AV_77]

stanislav71 в сообщении #704698 писал(а):

скалярные произведения с n-1 векторами

скалярное произведение может быть и не задано.