Сможете ли посчитать?

[yk2ru]

Вот aribas не смог посчитать
${(\frac{2^{2^{127} - 2} - 1}{2^{127} - 1} - \frac{2^{127} - 2}{2^7 - 1})} mod {(2^{127} - 1)}$ равно $0$ ?

"
==> ${(\frac{2^{2^{3} - 2} - 1}{2^{3} - 1} - \frac{2^3 - 2}{2^2 - 1})} mod {(2^3 - 1)}$.
-: $0$

==> ${(\frac{2^{2^{7} - 2} - 1}{2^{7} - 1} - \frac{2^7 - 2}{2^3 - 1})} mod {(2^7 - 1)}$.
-: $0$

==> ${(\frac{2^{2^{127} - 2} - 1}{2^{127} - 1} - \frac{2^{127} - 2}{2^7 - 1})} mod {(2^{127} - 1)}$.
**: arithmetic overflow
-: number expected: $break
div: number expected: $break
-: number expected: $break
mod: number expected: $break
-: error
"

[Brukvalub]

yk2ru писал(а):

Вот aribas не смог посчитать
((2**(2**127 - 2) - 1) div (2**127 - 1) - (2**127 - 2) div (2**7 - 1)) mod (2**127 - 1) равно 0 ?
:

"
==> ((2**(2**3 - 2) - 1) div (2**3 - 1) - (2**3 - 2) div (2**2 - 1)) mod (2**3 - 1).
-: 0

==> ((2**(2**7 - 2) - 1) div (2**7 - 1) - (2**7 - 2) div (2**3 - 1)) mod (2**7 - 1).
-: 0

==> ((2**(2**127 - 2) - 1) div (2**127 - 1) - (2**127 - 2) div (2**7 - 1)) mod (2**127 - 1).
**: arithmetic overflow
-: number expected: $break
div: number expected: $break
-: number expected: $break
mod: number expected: $break
-: error
"

Ваше сообщение не читаемо.

Добавлено спустя 1 час 51 секунду:

После редактирования мало что изменилось.

[незваный гость]

yk2ru писал(а):

${(\frac{2^{2^{127} - 2} - 1}{2^{127} - 1} - \frac{2^{127} - 2}{2^7 - 1})} mod {(2^{127} - 1)}$

Полагаю, что имеется в виду что-то типа:

${(\frac{2^{(2^{(2^x-1)} - 2)} - 1}{2^{(2^x-1)} - 1} - \frac{2^{(2^x-1)} - 2}{2^x - 1})} \mod {(2^{(2^x-1)} - 1)}$

Или, положив $p = 2^x-1$ (простое), $q = 2^p-1$ (оно тоже простое), ${(\frac{2^{q-1} - 1}{q} - \frac{q-1}{p})} \mod {q}$

Вся любовь сводится к вычислению $2^q-1 \mod q^2$, что, собственно, скучно. Писать программу — лень, посмотрите Exponentiation by squaring

Добавлено спустя 12 минут 14 секунд:

А впрочем, да, 0.

p  = 2^127 - 1;
pwr[x_, n_, m_] := 
    Which[
       n == 0, 1, 
       n == 1, x, 
       EvenQ[n], Mod[pwr[x, n/2, m]^2, m], 
       True, Mod[x pwr[x, (n - 1)/2, m]^2, m]
    ];
(pwr[2, p - 1, p^2]-1)/p-(p-1)/127

Доли секунды…

[yk2ru]

На чём это записано, какой програмный инструмент использовали?

[незваный гость]

Mathematica. Но это абсолютно не важно: я готов поспорить, что на Python это займет те же пол-страницы (или меньше), в отличии от проверки простоты $q$.

P.S. 1, 3, 5, 7, 13. Ваш следующий кандидат — 17.

[yk2ru]

Обобщим:
Пусть $C_0 = 2$, а $C_1 = 2^{C_0}-1$, $C_2 = 2^{C_1}-1$, $C_3 = 2^{C_2-1}$, ...,$C_n=2^{C_{n-1}}-1$
то есть имеем ряд чисел $2, 3, 7, 127$, ...
и пусть $D_n = \frac{C_n - 1}{C_{n-1}}$
и предыдущее тождество запишем как

$$D_{n+1}-2D_n\mod C_n = 0$$

а далее ещё одно тождество вроде как есть

$$\frac{D_{n+1}-2D_n}{C_n}-D_n(D_n-1)\mod C_n = 0$$

[незваный гость]

Думаю, что Ваше обобщение может быстро кончится. По крайней мере, $C_k$ будут не все (скорее всего) простыми, и поэтому делимость может оказаться проблематичной…