Обобщенные функции.

[3.14]

Здравствуйте, участники форума. Вот такие задания :
1) Найти производную (в обобщенном смысле) такой функции :

$$ f(x)=\begin{cases} -1,&\text{если $x < 0$;}\\ 0,&\text{если $0 \leq x \leq 1$;}\\ x^2,&\text{если $x > 1$.} \end{cases} $$

2) Решить уравнение (в обобщенном смысле) :
$a) x F' = 1$
$b) x(x+1) \sin(x) F' = 0$

Вот, что у меня получилось :

1) Вообще, я хотел действовать по определению : $ (f', \varphi) = - (f, \varphi')$ , где $\varphi$ - пробная функция. Но тут что-то у меня не получилось (у кого получилось - решение в студию ). Далее я сделал одну вещь и не уверен в ее справедливости. Мне удалось представить функцию так (вроде, правильно) : $f(x) = (x^2 + 1) \theta(x) - \theta(x) \theta(1-x) x^2 - 1$, где $\theta(x)$ - функция Хевисайда. Потом я нахожу $f'(x)$, используя свойства дифференцирования функции $\theta(x)$. Ответ такой : $f'(x) = \delta(x) + \delta(x-1) \theta(x) + 2 x \theta(x-1) \theta(x)$, где $\delta(x)$ - дельта-функция Дирака. Люди, которые посчтали эту производную, ответ верен ?

2) Тут еще более непонятно. Есть пример решения вот такого уравнения : $F' = 0. (F, \varphi') = 0$ ; мы знаем, что любая $\varphi$ имеет представление $ \varphi(x) = \varphi_0 (x) \int\limits_{-\infty}^{\infty} \varphi (x) dx + \varphi_1 ' (x)$, где $\varphi_0 (x)$ такая, что $\int\limits_{-\infty}^{\infty} \varphi_0 (x) dx = 1$ $\Rightarrow$

$$ (F, \varphi) = (F , \varphi_0 (x) \int\limits_{-\infty}^{\infty} \varphi (x) dx + \varphi_1 ' (x)) = (F, \varphi_0) \int\limits_{-\infty}^{\infty} \varphi (x) dx + (F, \varphi_1 ') $$

$\Rightarrow$ $ (F, \varphi_1 ') = 0 $, а $(F, \varphi_0) = C$ $\Rightarrow$ $ (F, \varphi) = C \int\limits_{-\infty}^{\infty} \varphi (x) dx = (C, \varphi)$, т. е. $ F = C$.

a) $ x F' = 1 $ $ \Rightarrow $
$ (F, x \varphi' + \varphi ) = (1, \varphi) $
$ x(F, \varphi') + (F, \varphi) = (1, \varphi) $
$ (F, \varphi) = (F, \varphi_0) \int\limits_{-\infty}^{\infty} \varphi (x) dx + (F, \varphi_1 ') $
Вот теперь, что делать я не знаю. Ответ такой : $ C_1 + C_2 \theta(x) + \ln|x| $. Вот насчет $ C_1 + \ln|x| $ понятно - это классическое решение этого уравнения. Откуда берется $\theta(x)$ не понятно.

Спасибо.