Интересные и трудные нереш. задачи...Ваши идеи и замечания

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте!

Это задачи, которые или случайно возникли в моих мыслях, или в процессе рисования чертежей. Многие из них уже обсуждались...но решение не было найдено. Представляю в едином виде всё то, что является самым интересным и нерешённым из возникших в моей жизни задач.

1) Пусть в треугольник вписана окружность, точки касания соединены, в треугольник, образованный отрезками, соединяющими точки касания, снова вписана окружность, и так до бесконечности. Определить расстояния от предельной точки (центра «последней» окружности) до сторон треугольника через $a$, $b$,$c$, где $a$,$b$,$c$- длины сторон первого треугольника. 2011

2) А) Найти все $n$, такие, что найдутся хотя бы два целочисленных треугольника периметра $n$, имеющих равные углы; б) определить, если возможно, зависимость числа таких треугольников и групп таких треугольников от $n$; 2012

3) На плоскости для треугольников есть формула Эйлера для расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей; есть ли многомерный аналог для числа измерений, большего 3? (для 3 ответ был отрицательный; его нашли на форуме dxdy); верно ли, что это расстояние определяется числом параметров, меньшим числа измерений для симплекса, ему соответствующего? 2012


4) Пусть даны два участка кривой на плоскости, гладкие на хотя бы очень маленьком интервале. Обозначим эти интервалы $[a]$ и $[b]$ (введя декартову систему координат). Требуется доказать или опровергнуть следующее построение: из любой точки, абсцисса которой принадлежит отрезку $[a]$, проводится касательная к участку на интервале $[b]$; из точки касания проводится касательная к участку кривой на отрезке $[b]$; из точки касания проводится касательная к участку кривой на отрезке $[a]$; эта комбинация продолжается до бесконечности; тогда предельной прямой будет общая касательная участков, если касательная существует. 2012

Доказан случай с двумя кривыми второго порядка (самостоятельно).

5) Цилиндр вращается вокруг своей образующей; на боковой поверхности цилиндра движется точка по окружности на поверхности цилиндра, не являющейся плоской. Эти движения суммируются. Какова будет траектория точки? 2012

[ZeZeeb]

Nikolai Moskvitin в сообщении #696107 писал(а):

5) Цилиндр вращается вокруг своей образующей; на боковой поверхности цилиндра движется точка по окружности на поверхности цилиндра, не являющейся плоской. Эти движения суммируются. Какова будет траектория точки? 2012

Что значит "движется по окружности на поверхности цилиндра"?

[Nikolai Moskvitin]

ZeZeeb в сообщении #703140 писал(а):

Что значит "движется по окружности на поверхности цилиндра"?

Имеется в виду следующее: представьте плоский лист и окружность на нём. Теперь представьте, что противоположные края листа совмещаются. Вот фигура, в которую переходит окружность, и является здесь частью объекта изучения.

[ZeZeeb]

Имеется в виду следующее: представьте плоский лист и окружность на нём. Теперь представьте, что противоположные края листа совмещаются. Вот фигура, в которую переходит окружность, и является здесь частью объекта изучения.[/quote]

Все равно не понятно, как мы по ней движемся. С постоянной по модулю скоростью относительно цилиндра, относительно системы координат или с постоянным модулем какой-то проекции (на тоже движущуюся плоскость).

[Nacuott]

Nikolai Moskvitin, по5) вы имеете ввиду такое?

[Nikolai Moskvitin]

ZeZeeb в сообщении #705741 писал(а):

Все равно не понятно, как мы по ней движемся.

Вариант 1-ый.

ZeZeeb в сообщении #705741 писал(а):

С постоянной по модулю скоростью относительно цилиндра

Вообще, интересно рассмотреть разные соотношения скоростей и разные варианты, предложенные Вами.

Nacuott в сообщении #706478 писал(а):

Nikolai Moskvitin, по5) вы имеете ввиду такое?

Я даже и не пытался решать... Это решение?!

[Nikolai Moskvitin]

Наверное, всё же Вы изобразили окружность, которую я имел в виду. Только "радиус" у этой окружности предполагался любым. Ваша экзотическая окружность, видимо, касалась сторон листа, из которого был получен цилиндр.

[Nacuott]

Nikolai Moskvitin в сообщении #706689 писал(а):

Наверное, всё же Вы изобразили окружность, которую я имел в виду. Только "радиус" у этой окружности предполагался любым. Ваша экзотическая окружность, видимо, касалась сторон листа, из которого был получен цилиндр.

Можно и так.

[Ontt]

Nikolai Moskvitin в сообщении #696107 писал(а):

5) Цилиндр вращается вокруг своей образующей; на боковой поверхности цилиндра движется точка по окружности на поверхности цилиндра, не являющейся плоской. Эти движения суммируются. Какова будет траектория точки? 2012

Нарисуем окружность в плоскости $XZ$ в прямоугольной системе координат в пространстве:

$$ \begin{cases} x(t)=r \sin (t+\alpha_r)\\ y(t)=0\\ z(t)=r \cos (t+\alpha_r) \end{cases} $$

где $r$ - радиус окружности, $\alpha_r$ - дуга окружности, на которую сдвинута начальная точка движения.
"Завернем" окружность вокруг прямого кругового цилиндра:

$$ \begin{cases} x(t)=R \sin (\frac {r}{R} \sin (t+\alpha_r)+\alpha_R)\\ y(t)=R \cos (\frac {r}{R} \sin (t+\alpha_r)+\alpha_R)\\ z(t)=r \cos (t+\alpha_r) \end{cases} $$

где $R$ - радиус цилиндра, $\alpha_R$ - угол поворота начального положения цилиндра.
Опишем уравнение окружности на вращающемся вокруг своей оси цилиндре:

$$ \begin{cases} x(t)=R \sin (\frac {r}{R} \sin (\frac {v_r}{v_R} t+\alpha_r)+\alpha_R+t)\\ y(t)=R \cos (\frac {r}{R} \sin (\frac {v_r}{v_R} t+\alpha_r)+\alpha_R+t)\\ z(t)=r \cos (t+\alpha_r) \end{cases} $$

где $v_r, v_R$ угловая скорость точки на окружности и вращения цилиндра соответственно.
И, наконец, "заставим" цилиндр двигаться по траектории окружности, лежащей в плоскости $XY$:

$$ \begin{cases} x(t)=R \sin(t)+R \sin (\frac {r}{R} \sin (\frac {v_r}{v_R} t+\alpha_r)+\alpha_R+t)\\ y(t)=R \cos(t)+ R \cos (\frac {r}{R} \sin (\frac {v_r}{v_R} t+\alpha_r)+\alpha_R+t)\\ z(t)=r \cos (t+\alpha_r) \end{cases} $$

[Nacuott]

По ниже записанным уравнением получаются такие кривые.

[AKM]

Nikolai Moskvitin в сообщении #696107 писал(а):

Многие из них уже обсуждались...но решение не было найдено.

Если так, то почему Вы не привели ссылки на эти обсуждения?
Если так, то данная тема дублирует многие другие темы.

[Nikolai Moskvitin]

Уважаемый модератор! Необходимость создания темы была вызвана постом в теме topic68527.html. Кроме того, не все из тем были начаты с гипотез, которые здесь высказаны (пятая же тема новая). Ваше первое требование, однако, более чем справедливо. Даю ссылки:
1)-- topic59051.html
2)-- topic59712.html
3)-- topic62238.html
4)-- topic61913.html
-- topic62795.html

[Nikolai Moskvitin]

Так думаю, что в гипотезе 4 нужно особенно учитывать следующее: именно, то, что касательная должна существовать. Потому что взять, например, те же дуги окружностей...их можно выбрать так, что общей касательной не будет. Таким образом, кроме случая асимптоты касательной действительно может вообще не существовать. Я предлагаю такую вещь: провести касательную к участку кривой в начале интервала; тогда если второй участок будет лежать по другую сторону от первого относительно этой касательной, общей касательной не существует. Но это тоже гипотеза.