Классификация двумерных многообразий

[myjobisgop]

Доброй ночи всем. Возник вопрос по доказательству одной теоремы.

В книжке Мищенко А.С., Фоменко А.Т. "Курс дифференциальной геометрии и топологии", кое-где рассказывается про гладкие многообразия, и там есть теорема:

Теорема классификации: Любое гладкое, компактное, связное, замкнутое двумерное многообразие гомеоморфно либо сфере $S^2$ с k ручками, либо сфере $S^2$ с s пленками Мёбиуса.

В доказательстве сначала производят триангуляцию многообразия, затем разрезают его по сторонам криволинейных симплексов. Затем склеивают из разрезанных кусков некоторый многоугольник. В итоге сопоставляют многообразию некоторое слово.

Дальше говорится: "Перестроим многоугольник с помощью операций, соответствующих некоторым гомеоморфизмам исходного многообразия (Эти операции не будут сохранять триангуляцию; её роль закончиласьв тот момент, когда мы сопоставили многообразию его слово)"

Смысл этого предложения мне, честно говоря, не совсем понятен. Т.е либо мы изначально говорим что наше многообразие гомеоморфно другому многообразию, которое имеет другое слово. Либо мы начинаем менять буквы и ориентации на многоугольнике и говорим что это некий гомеоморфизм?

P.S. И еще такой вопрос: Где в доказательстве используется ориентируемость / неориентируемость многообразия?

[Nimza]

Вот мы сопоставили исходному многообразию многоугольник и соответствующее слово. Мы перестроим этот многоугольник, но так, что соответствующее перестроенному многоугольнику многообразие будет гомеоморфно исходному многообразию. Потом снова перестроим многоугольник, полученный на предыдущем шаге. И так будем делать до тех пор, пока не получим многоугольник канонического вида, которому соответствует слово одного из двух типов (+вырожденный третий). При этом соответствующее итоговому многоугольнику многообразие будет гомеоморфно исходному многообразию, так как на каждом из шагов было так.

[myjobisgop]

Nimza
А что означает перестроить многоугольник? Задать новые обозначения сторон и ориентаций?

И почему после перестройки соответствующее многообразие будет гомеоморфно исходному?

[Nimza]

myjobisgop в сообщении #703732 писал(а):

А что означает перестроить многоугольник? Задать новые обозначения сторон и ориентаций?

Перестроить - просто перейти от имеющегося многоугольника к другому (или к набору многоугольников). В книге Борисовича и др. "Введение в топологию" определяются 3 элементарных операции, с помощью которых можно перестраивать: разрезание, склейка по одному ребру, сворачивание. При этом вместо многоугольника после перестройки мы можем получить несколько многоугольников, как, например, при разрезании. Для этих трёх элементарных операций показывается, что они переводят многоугольник (набор многоугольников) в многоугольник (набор многоугольников), которым соответствуют гомеоморфные пространства.