Интегрирование по частям

[SpBTimes]

У подЫнтегральной функции особенность может и есть, однако интеграл то сходящийся. Точнее можно сказать так, внеинтегральная функция оказывается непрерывной, и $\rho(x)f'(x)$ и $\rho'(x)f(x)$ интегрируемы одновременно, так что формула остается верна и в случае несобственного интеграла

[mihiv]

Я оценивал интеграл $\int \limits _{[\sqrt N]}^{\sqrt N}\rho (X)f'(x,N)dx=\rho (x)f(x,N)|\limits ^{\sqrt N}_{[\sqrt N]}-\int \limits ^{\sqrt N}_{[\sqrt N]}\rho '(x)f(x,N)dx$
Длина отрезка интегрирования $<1,\rho '(x)=-1$, поэтому нужно оценить только $f(x,N)$, но $f(x,N)<\sqrt {\frac {\sqrt {8(\sqrt N)^2N+N^2}-2(\sqrt N-1)^2-N}2}}=\sqrt {2\sqrt N-1}=O(N^{\frac 14})$

[Ward]

Уважаемый mihiv
А можно ли показать, что

$$\int \limits_{0}^{[\sqrt{N}]}\rho(x)f'(x,N)dx=O(\sqrt[4]{N})$$

Или это неверно? Какую наилучшую оценку можно дать?

-- 30.03.2013, 18:19 --

SpBTimes в сообщении #703427 писал(а):

У подЫнтегральной функции особенность может и есть, однако интеграл то сходящийся. Точнее можно сказать так, внеинтегральная функция оказывается непрерывной, и $\rho(x)f'(x)$ и $\rho'(x)f(x)$ интегрируемы одновременно, так что формула остается верна и в случае несобственного интеграла

Что такое внеинтегральная функция у Вас?
Почему этот интеграл сходящийся? Откуда это? Как Вы применяете тут интегрирование по частям если у функции $f(x,N)$ производная в $\sqrt{N}$ "улетает" в бесконечность, но ведь по условии теоремы об интегрировании по частям функция $f(x,N)$ должна иметь непрерывную производную на отрезке $[[\sqrt{N}], \sqrt{N}]$, но $f(\sqrt{N})=\infty$

[ex-math]

Для начала лучше сделать замену $x=t\sqrt N$. Тогда $f(x)=\sqrt{N/3}\,g(t)$, где $g(t)=\sqrt{\sqrt{8t^2+1}-2t^2-1}$. Тогда

$$ \int_0^{\sqrt N}\rho(x)f'(x)dx=\sqrt{\frac N3}\int_0^1\rho(t\sqrt N)g'(t)dt. $$

Уже тривиальная оценка $\rho(x)$ дает $O(\sqrt N)$, так как $g'(t)$ интегрируема (имеет порядок $\sqrt{1-t}$ при $t\to1$).

Но можно оценить точнее, используя тот факт, что $\rho(t\sqrt N)$ быстро осциллирует при больших $N$. При этом, действительно, окрестность единицы придется выделить:

$$ \int_{[\sqrt N]/\sqrt N}^1|g'(t)|dt=O\left(\int_{[\sqrt N]/\sqrt N}^1\frac{dt}{\sqrt{1-t}}\right)=O(N^{-1/4}). $$

На оставшемся промежутке занесем $\rho(x)$ под дифференциал, обозначая $\sigma(x)=\int_0^x\rho(t)dt$:

$$ \sqrt N\int_0^{[\sqrt N]/\sqrt N}\rho(t\sqrt N)g'(t)dt=\int_0^{[\sqrt N]/\sqrt N}g'(t)d\sigma(t\sqrt N)=O\left(\int_0^{[\sqrt N]/\sqrt N}|g''(t)|dt\right). $$

Формально надо разбить $[0,\sqrt N]$ на промежутки единичной длины и проинтегрировать по каждому из них, но внеинтегральные члены пропадут, так как $\sigma(x)$ обращается в нуль в целых точках.

Ну и $g''(t)$ имеет порядок $(1-t)^{3/2}$ при $t\to1$, так что последний интеграл оценится как $N^{1/4}$. Итого, получили оценку $O(N^{1/4})$ для исходного интеграла.

[Ward]

ex-math
Почему функция $g'(t)$ интегрируема? Ведь в точке $t=1$ производная ее уходит в бесконечность.
На каком основании Вы утверждаете, что эта функция интегрируема.

[ex-math]

Ward
Интеграл сходится, это интегрируемая особенность.

[Ward]

А как Вы определили, что это интегрируемая особенность?
пользовались эквивалентностями?

[ex-math]

Ward
Да.

В предыдущем сообщении я Вас запутал, написав для $g'(t)$ порядок $\sqrt{1-t}$ вместо $1/\sqrt{1-t}$ и для $g''(t)$ порядок $(1-t)^{3/2}$ вместо $(1-t)^{-3/2}$. Извиняюсь. Трудно написать большое сообщение с кучей формул сразу и без опечаток.

[SpBTimes]

Ward в сообщении #703502 писал(а):

Что такое внеинтегральная функция у Вас?
Почему этот интеграл сходящийся? Откуда это? Как Вы применяете тут интегрирование по частям если у функции $f(x,N)$ производная в $\sqrt{N}$ "улетает" в бесконечность, но ведь по условии теоремы об интегрировании по частям функция $f(x,N)$ должна иметь непрерывную производную на отрезке $[[\sqrt{N}], \sqrt{N}]$, но $f(\sqrt{N})=\infty$

Внеинтегральная функция: $\rho(x)f(x)$.
Далее. То, что производная улетает в бесконечность не мешает функции быть интегрируемой в несобственном смысле. Для несобственных интегралов есть теорема об интегрировании по частям, примерно ее я привел в своем предыдущем замечании.
Еще далее. Зачем вам производная функции $f(x, N)$, которую вы вспоминаете при каждом удобном и неудобном случае - я не понимаю. Вы интегрируете эту функцию, т.е. сглаживаете, и проблема исчезает.

[Ward]

ex-math в сообщении #703524 писал(а):

Ну и $g''(t)$ имеет порядок $(1-t)^{-3/2}$ при $t\to1$, так что последний интеграл оценится как $N^{1/4}$

Уважаемый ex-math!
Почему у Вас тут стоит $t\to 1$ ведь $1$ вообще не попадает в отрезок $\left[0, \dfrac{[\sqrt{N}]}{\sqrt{N}}\right]$? Что-то этот момент я не совсем понял

[ex-math]

Ward
Лучше вместо $[\sqrt N]/\sqrt N$ разбить отрезок точкой $1-1/\sqrt N$. И да, единица не попадает в этот отрезок, зато с ростом $N$ его правый конец стремится к единице.

[Ward]

Уважаемый ex-math
А зачем Вы устремляете $N\to\infty$?
$N$ у нас ведь фиксировано или нет?

[ex-math]

Смысл этих $O$-оценок в том, что исследуемая функция не превосходит $cN^{\frac14}$ для любого достаточно большого $N$. А при любом фиксированном $N$ или при $N$, не превосходящем фиксированного числа, это тривиально выполнено за счет подбора соответствующей постоянной $c$.

[Ward]

ex-math
Прочитал Ваше последнее сообщение, но к сожалению не совсем понял.
Вы разбиваете интеграл

$$\int \limits_{0}^{1}=\int \limits_{0}^{1-\frac{1}{\sqrt{N}}}+\int \limits_{1-\frac{1}{\sqrt{N}}}^{1}$$

Зачем Вам еще $N$ устремлять к бесконечности?
При $N\to \infty$ получаем, что $1-\frac{1}{\sqrt{N}}\to1$
А зачем тогда это разбиение было нужно?

[ex-math]

Разбиение нужно потому, что на $[0,1]$ мы не можем интегрировать по частям, так как $g''(t)$ имеет неинтегрируемую особенность при $t=1$.

Мы не устремляем $N$ к бесконечности, мы хотим убедиться, что исследуемый интеграл, назовем его $I(N)$, будучи поделен на $N^{\frac14}$ ограничен при достаточно больших $N$.

Если устремить $N$ к бесконечности, то оба интеграла в Вашем последнем сообщении будут стремиться к бесконечности. Скорость этого стремления мы и оцениваем, для каждого интеграла -- по-своему.