Неравество, не сходится с ответом

[reformator]

$\dfrac{\log_{x}2x^{-1}\cdot \log_x{2x^2}}{\log_{2x}x\cdot \log_{2x^{-2}}x}<40$

ОДЗ

$x\in\left(0;\dfrac{1}{2}\right)\cup \left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)\cup\left(\dfrac{1}{\sqrt 2};1\right)\cup \left(1;+\infty\right)$

Перепишем неравенство в более удобном виде.

$\log_{x}\left(\dfrac{2}{x}\right)\cdot \log_x\left({2x^2}\right)\cdot \log_{x}\left(2x\right)\cdot \log_{x}\left({\dfrac{2}{x^2}}\right)<40$

$\left(\log_{x}2-1\right)\cdot \left(\log_{x}2+2\right)\cdot \left(\log_{x}2+1\right)\cdot \left(\log_{x}2-2\right)<40$

$z=\log_{x}2$

$(z^2-1)(z^2-4)<40$

$z^4-5z^2-36<0$

$t=z^2>0$

$t^2-5t-36<0$

$(t-9)(t+4)<0$

Так как $t>0$, то из $(t-9)(t+4)<0$ следует, что $t<9$

$z^2<9$ => $z\in(-3;3)$

$\log_{x}2>-3$ и $\log_{x}2<3$

$\dfrac{1}{\log_{2}x}+3>0$ и $\dfrac{1}{\log_{2}x}-3<0$

$\log_{2}x=y$

$\dfrac{1+3y}{y}>0$ и $\dfrac{1-3y}{y}<0$

$\dfrac{1+3y}{y}>0$ и $\dfrac{1-3y}{y}<0$

$y\in\left(-\infty;-\dfrac{1}{3})\cup(0;+\infty)$ и $y\in \left(0;\dfrac{1}{3}\right)$

Пересекая, имеем $y\in \left(0;\dfrac{1}{3}\right)$

Тогда $0<\log_{2}x<\dfrac{1}{3}$

$1<x<\sqrt[3]{2}$

Ответ, с учетом ОДЗ $1<x<\sqrt[3]{2}$

В чем ошибка? В ответе должно быть еще три интервала...

[bot]

1) ОДЗ неверная
2) разберитесь с логикой после $z\in (-3; 3)$.

[reformator]

bot в сообщении #703335 писал(а):

1) ОДЗ неверная
2) разберитесь с логикой после $z\in (-3; 3)$.

Спасибо, разобрался теперь!