О размерности пространства

[aklimets]

Внешний характер пространственных измерений наложил отпечаток на формирование соответствующих естественно-математических понятий. В частности, это выразилось в представлении о трехмерности пространства. Реальные вещи, тела и процессы, с которыми сталкивается человек в практической деятельности, объемны. По существу, объемность (или емкость) и представляет собой реальную пространственную протяженность.

Пространство не может быть чем-то иным, нежели совокупностью кубических метров. Однако выражение реального объема именно в кубических метрах (см, км и т.п.) явилось результатом длительного развития прежде всего хозяйственной, но вместе с тем и научной практики. Потребность в измерении посевных площадей, расстояний и привели к тому, что исходной основой пространственных измерений явилась длина и ее абстрактное выражение - линия.

Почему трехмерен объем в геометрии Евклида? Потому что в его основе лежит линия, взятая одномерно; линии образуют двумерную плоскость, а из плоскостей строится трехмерный объем. Хотя такой путь оптимален и в наибольшей степени удовлетворяет потребностям практики, он все же не является единственно возможным. Данные археологии подтверждают, что единицы измерения объема (емкости) исторически являются столь же древними, как и естественные измерения времени и длины (день, месяц, ступня и т.п.). Можно предположить, что если бы практические потребности первобытных людей выдвинули на передний план не измерения площадей и расстояний, а измерения объемов, то развитие геометрии могло бы пойти по пути, отличному от проложенного Евклидом.
Говорят, к примеру: такая-то комната больше, чем другая; новый прибор (машина) более компактен и занимает меньше места (меньшее пространство), чем прежняя модель. При всей приблизительности приведенных сравнений реальная пространственная объемность выражена здесь в одном измерении: в отношении <<больше - меньше>>. Если на основе подобных или аналогичных сравнений выработать единицы измерения одномерных объемов и положить их в основу некоторой воображаемой геометрии, то понятие линии в ней могло бы быть совершенно иным: например, выраженным в трех измерениях, скажем, как корень третьей степени из единицы одномерного объема. С этой точки зрения размерность пространства - понятие относительное. Покажем это.

Модель многомерного пространства

Рассмотрим трехмерное пространство - пространство, каждая точка которого характеризуется тремя числами по отношению к декартовой системе координат. В нем справедлива теорема Пифагора

$$ R^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \,\,\,\,\,\,\,(1) $$

Здесь $R$ - расстояние между двумя точками. По сути дела, всю трехмерную евклидовую геометрию можно вывести из соотношения (1). Рассмотрим теперь множества, состоящие из точек (рис.1). Здесь точки символы, элементы множества (вместо точек я мог бы взять множество домов, множество деревьев и т.п.).

Поставим в соответствие множеству точек множество размерностей пространства. Тогда $3$-мерное пространство соответствует множеству из трех точек, $2$-мерное - множеству из двух точек, $1$-мерное - множеству из одной точки, $0$-мерное - пустому множеству точек. Рассмотрим пересечения подмножеств точек в множестве из трех точек (рис.2)

Напомним, что пересечением называется подмножество, принадлежащее обоим пересекающимся подмножествам. На рис.2 пересекаются подмножества, каждое из которых состоит из двух точек. Как видим, подмножества из двух точек могут пересекаться по одной точке. В $3$-мерном пространстве это соответствует пересечению двух $2$-мерных плоскостей, пересекающихся по $1$-мерной прямой. Рассмотрим рис.3

Здесь пересечение двух подмножеств из двух точек и одной точки происходит по пустому множеству точек. В $3$-мерном пространстве это соответствует пересечению прямой и плоскости в одной точке. Аналогично можно рассмотреть пересечения в $2$-мерном пространстве и $1$-мерном. Соответствие между множеством точек и множеством размерностей будет полное.
Рассмотрим теперь множество из четырех точек, что соответствует $4$-мерному пространству (рис.4)

Как видим, в $4$-мерном пространстве две плоскости могут пересекаться в одной точке, чего не было в $3$-мерном пространстве. Это нетрудно представить наглядно, если спроецировать $4$-гранный угол на плоскость аналогично проецированию $3$-гранного угла на плоскость, воображая, что углы плоскостей при вершине $4$-гранника такие же прямые, как и в $3$-граннике.
Ведь мы же не удивляемся тому, что три координатные плоскости в $3$ мерном пространстве пересекаются в одной точке. Аналогично в $4$-мерном пространстве $4$ координатные плоскости пересекаются в одной точке, в том числе и две противоположные $2$-мерные координатные плоскости.
Аналогично, можно легко представить наглядно пересечение в одной точке $K$-мерных подпространств в $N$-мерном пространстве, если спроецировать $N$-гранный угол на плоскость (лист бумаги), воображая, что углы между подпространствами при вершине $N$-гранника прямые. Выглядеть на листе это будет в виде $N$-прямых линий, исходящих из одной точки, с равными углами между прямыми.
Вообще, если рассмотреть множество из $n$ точек, что соответствует $n$-мерному пространству, то легко обнаружить, что выполняется следующее соотношение

$$ l\ge m + k - n\,\,\,\,\,\,\,\,(2) $$

где $l$ подмножество точек в пересечении подмножеств $m$ и $k$ ; $n$ - все множество точек.

В теории конечномерных векторных пространств существует аналогичное соотношение, т.е.

$$ {dim}\ l \ge {dim}\ m + {dim}\ k - {dim}\ n\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) $$

где dimension - размерность; ${dim}\ l$ - размерность подпространства, получаемого в результате пересечения подпространств $m$ и $k$; ${dim}\ n$ - размерность объемлющего пространства [1]. Пусть мы имеем бесконечномерное пространство. Тогда в нашей модели это отобразится множеством из бесконечного числа точек (рис.5)

т.е. сплошной непрерывной областью. Соотношения (2) и (3) будут иметь здесь вид

$$ L \ge M + K - N\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4) $$

Рассмотрим теперь множество из $9$ точек, что соответствует $9$-мерному пространству (рис.6)

Если это множество разбить на подмножества по три точки - $A$, $B$, $C$, то нетрудно видеть, что пересечение подмножеств $A$, $B$, $C$ аналогично пересечению подмножеств из трех точек. В $9$-мерном пространстве это означает, что три его трехмерных подпространства могут пересекаться в одной точке и быть взаимно ортогональными. Таким образом, $3$-мерное подпространство в этом случае может играть роль координатной <<оси>>. Тогда то, что соответствует $2$-мерным плоскостям в $3$-мерном пространстве, здесь будет $6$-мерным подпространством. Мы взяли по три точки в $A$, $B$, $C$ только в качестве примера. Пусть в $A$, $B$, $C$ будет по $n$ точек. Тогда мы получим аналог $3n$ -мерного пространства. Куб, например, в таком пространстве может выглядеть следующим образом (рис.7)

Здесь каждое ребро $n$-мерно, каждая грань $2n$-мерна, а сам куб $3n$-мерен, но точечных вершин в углах такого <<куба>> все равно $8$. Если в качестве <<линии>> в $3n$-мерном пространстве взять его $n$-мерное подпространство, то мы получим с таким определением обычную $3$-мерную геометрию, где точки могут быть охарактеризованы $3$-мя числами по отношению к $n$-мерным координатным <<осям>>. Единственное отличие будет состоять в том, что <<длина>> этой линии будет измеряться метрами в степени $n$, то есть $m^n$ (см, км и т.п.).

Теорема Пифагора в этом случае будет иметь вид

$$ R^2m^n = X^2 m^n + Y^2 m^n + Z^2 m^n\,\,\,\,\,\,\,\,(5) $$

Таким образом, введенная здесь <<$3$-мерная>> геометрия формально ничем не будет отличаться от $3$-мерной геометрии Евклида.

Мы показали, что понятие размерности пространства является понятием относительным.

В принципе $n$ можно устремить к бесконечности и мы получим $3$-мерную геометрию с бесконечным числом внутренних степеней свободы. Точки в этом пространстве (т. е. очень малые области) будут являться многомерными.

[1] Архангельский А.В. Конечномерные векторные пространства,
М., изд-во МГУ, 1982

[hvost_soroki]

aklimets в сообщении #702914 писал(а):

Поставим в соответствие множеству точек множество размерностей пространства. Тогда 3-мерное пространство соответствует множеству из трех точек

Из школьной геометрии помнится — три точки, не лежащие на одной прямой, определяют плоскость.

[arseniiv]

aklimets в сообщении #702914 писал(а):

Теорема Пифагора в этом случае будет иметь вид

$$ R^2m^n = X^2 m^n + Y^2 m^n + Z^2 m^n\,\,\,\,\,\,\,\,(5) $$

Нет, она будет иметь вид

$$r^2 = x_1^2 + \ldots + x_{3n}^2.$$

aklimets в сообщении #702914 писал(а):

Мы показали, что понятие размерности пространства является понятием относительным.

Что, правда? Зачем тогда вы ссылаетесь на [1]? (Или там, к сожалению, написана такая же ерунда?)

[aklimets]

hvost_soroki в сообщении #703009 писал(а):

Из школьной геометрии помнится — три точки, не лежащие на одной прямой, определяют плоскость.

По моему, я четко указал, что в модели "точки" - это символы, элементы множества. Вместо "точек" в качестве элементов множества я мог бы взять множество любых других предметов.

arseniiv в сообщении #703029 писал(а):

Нет, она будет иметь вид

Нет, неверно. Величина $R$ у меня - это $n$-мерный объем, а не 1-мерная длина (1-мерный объем). Разве это так трудно понять? В данном случае (5) это своеобразное обобщение теоремы Пифагора.
Ссылку на [1] я привел потому, что там указана формула (3).

[iifat]

Как-то не очень понятна цель топика. Доказать что-то касательно нашего пространства? Дык, замечу, размерность пространства можно установить, вообще не вводя понятия метрики. И никакие манипуляции с метриками этого не изменят.

[arseniiv]

aklimets в сообщении #703056 писал(а):

Нет, неверно. Величина $R$ у меня - это $n$-мерный объем, а не 1-мерная длина. Разве это так трудно понять?

Не стоит обозначать одной буквой в одном контексте разные вещи.

[nnosipov]

aklimets в сообщении #702914 писал(а):

Теорема Пифагора в этом случае будет иметь вид

$$ R^2m^n = X^2 m^n + Y^2 m^n + Z^2 m^n\,\,\,\,\,\,\,\,(5) $$

Что такое $R$, $X$, $Y$, $Z$ в этом равенстве? Дайте точные определения.

[aklimets]

arseniiv в сообщении #703065 писал(а):

Не стоит обозначать одной буквой в одном контексте разные вещи.

А почему это разные вещи? В данном случае (5) это своеобразное обобщение теоремы Пифагора. При $n=1$ мы приходим к обычной теореме Пифагора. Я пытаюсь показать, что $n$ может быть и больше 1.

-- Пт мар 29, 2013 19:00:05 --

nnosipov в сообщении #703073 писал(а):

Что такое , , , в этом равенстве? Дайте точные определения.

Если пространство $3n$-мерно, то $R,X,Y,Z$ - это $n$-мерные подпространства.

[nnosipov]

aklimets в сообщении #703074 писал(а):

Если пространство $3n$-мерно, то $R,X,Y,Z$ - это $n$-мерные подпространства

Что такое, например, $R^2$, где $R$ --- подпространство? Что Вы понимаете под подпространством?

[aklimets]

iifat в сообщении #703062 писал(а):

Как-то не очень понятна цель топика. Доказать что-то касательно нашего пространства? Дык, замечу, размерность пространства можно установить, вообще не вводя понятия метрики. И никакие манипуляции с метриками этого не изменят.

Показать, что $3n$-мерные пространства математически можно рассматривать как обычные 3-мерные пространства, если $n$-мерное подпространство в таком пространстве определить как 1-мерную "линию".

[nnosipov]

aklimets, отвечайте на мои вопросы. Вам напомнить о том, что Вы обязаны это делать?

[aklimets]

nnosipov в сообщении #703079 писал(а):

Что такое, например, , где --- подпространство? Что Вы понимаете под подпространством?

Нужно просто понять одну вещь. В 3-мерном пространстве мы говорим: 10 пог.метров больше, чем 5 пог.метров. Аналогично можно сказать, что 10 куб.метров больше, чем 5 куб.метров. то есть здесь мы вычленяем только отношение "больше - меньше". Поэтому в $3n$-мерном пространстве мы можем пользоваться $n$-мерным подпространством как своеобразной "длиной", протяженностью, "осью" координат.

-- Пт мар 29, 2013 19:21:49 --

nnosipov в сообщении #703089 писал(а):

aklimets, отвечайте на мои вопросы. Вам напомнить о том, что Вы обязаны это делать?

Не успеваю.

[Munin]

aklimets
Почитайте учебник по линейной алгебре, и не выдумывайте велосипедов.

-- 29.03.2013 19:24:53 --

$3n$-мерные пространства ничем не выделены среди $d$-мерных пространств, а их $n$-мерные подпространства ($d/3$-мерные) - среди $k$-мерных подпространств.

[nnosipov]

aklimets в сообщении #703090 писал(а):

В 3-мерном пространстве мы говорим: 10 пог.метров больше, чем 5 пог.метров. Аналогично можно сказать, что 10 куб.метров больше, чем 5 куб.метров. то есть здесь мы вычленяем только отношение "больше - меньше". Поэтому в $3n$-мерном пространстве мы можем пользоваться $n$-мерным подпространством как своеобразной "длиной", протяженностью, "осью" координат.

Это не ответ, это лабуда. Ещё раз: что такое $R^2$, где $R$ --- подпространство?

[aklimets]

nnosipov в сообщении #703094 писал(а):

-мерные пространства ничем не выделены среди -мерных пространств, а их -мерные подпространства (-мерные) - среди -мерных подпространств.

Я их выделил для наглядности.

nnosipov в сообщении #703094 писал(а):

Это не ответ, это лабуда. Ещё раз: что такое , где --- подпространство?

Предположим, $R=10m^5$, т.е. дословно 10 метров в 5-й степени. Возведите эту величину в квадрат. Получите "площадь" 100 метров в 10 степени.