Обратная функция

[evgeniy]

Shwedka Вы заблудились в двух соснах. Если имеем уравнение
$y_l-y_l^0=\sum_{k=1}^N A_{lk}(x_k-x_k^0)$
определитель которого отличен от нуля, то единственное решение при условии $y_l=y_l^0$
будет $x_l=x_l^0$. Т.е. по заданному значению функции однозначно определяется обратная функция и нет другой обратной функции в односвязной области с не нулевым определителем. Однозначный алгоритм построения функции $A_{lk}$ я привел, т.е. можно определить область, где определитель этой матрицы отличен от нуля.

-- Чт мар 28, 2013 11:40:58 --

Приведу алгоритм решения нелинейной задачи, используя метод деления отрезка пополам. Если выбрать две точки в области с не нулевым обобщенным определителем Якоби, в которых сумма $\sum_{k=1}^N y_k$ имеет разные знаки, то корень нелинейного уравнения будет лежать между этими точками. Выбираем среднюю точку и считаем в ней сумму, в зависимости от ее знака выбираем отрезки, которые надо делить пополам. Если значение в средней точке равно нулю, то нужно исследовать оба отрезка, справа и слева от средней точки.

[shwedka]

$Если имеем уравнение $y_l-y_l^0=\sum_{k=1}^N A_{lk}(x_k-x_k^0)$$
Вы, однако, решаете не это уравнение, а нелинейное.

Чтобы не было трепа, дайте
1. Полное определение Вашей 'обобщенной матрицы Якоби'
Несмотря на многочисленные требования, получено не было.
2. Точную, полную и окончательную формулировку Вашей 'теоремы'
Тогда будет предмет обсуждения.

-- Чт мар 28, 2013 10:01:18 --

evgeniy в сообщении #702489 писал(а):

Приведу алгоритм решения нелинейной задачи, используя метод деления отрезка пополам. Если выбрать две точки в области с не нулевым обобщенным определителем Якоби, в которых сумма $\sum_{k=1}^N y_k$ имеет разные знаки, то корень нелинейного уравнения будет лежать между этими точками. Выбираем среднюю точку и считаем в ней сумму, в зависимости от ее знака выбираем отрезки, которые надо делить пополам. Если значение в средней точке равно нулю, то нужно исследовать оба отрезка, справа и слева от средней точки.

А тут Вы, как всегда, бездумно переносите опыт работы с одной переменной на несколько.
В последнем случае, понятие 'лежать между этими точками' смысла не имеет, и 'деление отрезка пополам' к решению нелинейного уравнения не приведет.

Плюс ко всему, где у Вас гарантия, что поделив отрезок пополам, Вы останетесь в рассматриваемой области? Такой гарантии у Вас нет! Так что в 'средней точке' Ваша функция вполне может и не быть определена.

[evgeniy]

Обобщенная матрица Якоби определяется по формуле
$A_{nm}=\frac{\partial f_n(x^0_1,...x^0_N)}{\partial x_m}+\frac{1}{2} \sum_{k=1}^N\frac{\partial^2 f_n(x^0_1,...x^0_N)}{\partial x_k \partial x_m}(x_k-x_k^0)+ \frac{1}{6} \sum_{k,l=1}^N\frac{\partial^3 f_n(x^0_1,...x^0_N)}{\partial x_l \partial x_k \partial x_m}(x_l-x_l^0)(x_k-x_k^0)+...$
Если определитель обобщенной матрицы Якоби не равен нулю в односвязной замкнутой области изменения $x_k,x_k^0,k=1,...,N$, то каждой точке $y_n,n=1,...,N$ соответствует единственная точка $x_k,k=1,...,N$.
Доказательство.
Рассмотрим разложение в ряд Тейлора функции N переменных. При введении обобщенной матрицы Якоби разложение единственным образом запишется в виде
$y_l-y_l^0=\sum_{k=1}^N A_{lk} (x_k-x_k^0)$
В силу не равенства нулю определителя обобщенной матрицы Якоби каждому значению $y_l,l=1,...,N$
соответствует единственное значение переменной $x_k,k=1,...,N$

[shwedka]

Цитата:

Обобщенная матрица Якоби определяется по формуле
$A_{nm}=\frac{\partial f_n(x^0_1,...x^0_N)}{\partial x_m}+\frac{1}{2} \sum_{k=1}^N\frac{\partial^2 f_n(x^0_1,...x^0_N)}{\partial x_k \partial x_m}(x_k-x_k^0)+ \frac{1}{6} \sum_{k,l=1}^N\frac{\partial^3 f_n(x^0_1,...x^0_N)}{\partial x_l \partial x_k \partial x_m}(x_l-x_l^0)(x_k-x_k^0)+...$
Если определитель обобщенной матрицы Якоби не равен нулю в односвязной замкнутой области изменения $x_k,x_k^0,k=1,...,N$, то каждой точке $y_n,n=1,...,N$ соответствует единственная точка $x_k,k=1,...,N$.

Не годится!
Я просила ПОЛНОЕ определение и ПОЛНУЮ формулировку.
По определению. Матрица Якоби рассматривается как функция каких переменных. Переменные $x^0$ зафиксированы или нет?
По формулировке.
$x^0$ зафиксировано, или условие должно быть выполнено при всех возможных выборах $x^0$?

-- Чт мар 28, 2013 10:57:17 --

Вдобавку, подумайте.
Ваше условие не необходимо даже в размерности 1.
Возьмите функцию $f(x)=x\exp(-\frac{1}{x^2}) (x\ne0), f(0)=0. $, $x^0=0$. Все производные в нуле равны нулю. Ваша матрица как бы Якоби тождественно равна нулю. Функция однозначно обратима.

Ваше условие не достаточно даже в размерности 1.
Возьмите функцию $f(x)=-0.0001 x+\exp(-\frac{1}{x^2}) (x\ne0), f(0)=0. $, $x^0=0$.
Ваша матрица как бы Якоби тождественно равна -0.0001. Не ноль. В то же время, по непрерывности, уравнение $f(x)=0$ имеет не менее двух различных решений, то есть, однозначного обратного нет.

[evgeniy]

Обобщенная матрица Якоби, зависящая от переменных $x_1,..,x_N$ при фиксированных переменных $x_1^0,..,x_N^0$ определяется по формуле
$A_{nm}=\frac{\partial f_n(x^0_1,...x^0_N)}{\partial x_m}+\frac{1}{2} \sum_{k=1}^N\frac{\partial^2 f_n(x^0_1,...x^0_N)}{\partial x_k \partial x_m}(x_k-x_k^0)+ \frac{1}{6} \sum_{k,l=1}^N\frac{\partial^3 f_n(x^0_1,...x^0_N)}{\partial x_l \partial x_k \partial x_m}(x_l-x_l^0)(x_k-x_k^0)+...$
Если определитель обобщенной матрицы Якоби не равен нулю в односвязной замкнутой области изменения $x_k,k=1,...,N$, при фиксированных переменных $x_k^0,k=1,...,N$, находящейся в той же области, то каждой точке $y_n,n=1,...,N$ соответствует единственная точка $x_k,k=1,...,N$.
Доказательство.
Рассмотрим разложение в ряд Тейлора функции N переменных. При введении обобщенной матрицы Якоби разложение единственным образом запишется в виде
$y_l-y_l^0=\sum_{k=1}^N A_{lk} (x_k-x_k^0)$
В силу не равенства нулю определителя обобщенной матрицы Якоби каждому значению $y_l,l=1,...,N$
соответствует единственное значение переменной $x_k,k=1,...,N$

[shwedka]

Цитата:

Рассмотрим разложение в ряд Тейлора функции N переменных. При введении обобщенной матрицы Якоби разложение единственным образом запишется в виде
$y_l-y_l^0=\sum_{k=1}^N A_{lk} (x_k-x_k^0)$
В силу не равенства нулю определителя обобщенной матрицы Якоби каждому значению $y_l,l=1,...,N$
соответствует единственное значение переменной $x_k,k=1,...,N$

Прекрасно.
Теперь включите в Вашу матрицу обозначение зависимости от $x$, которое по скромности было утаено.

Цитата:

При введении обобщенной матрицы Якоби разложение единственным образом запишется в виде
$y_l-y_l^0=\sum_{k=1}^N A_{lk}(x_1,\dots,x_N) (x_k-x_k^0)$

Для определения $x_k$ это нелинейное уравнение, неизвестные входят и в линейную часть, а также и в саму матрицу.
так что никакая линейная алгебра не дает ничего про однозначную разрешимость.

[evgeniy]

Shwedka это просто жульничество с Вашей стороны, стоит переформулировать теорему и Вы это знаете, и она будет справедлива.
Обобщенная матрица Якоби, зависящая от переменных $x_1,...,x_N,x_1^0,..,x_N^0$ определяется по формуле
$A_{nm}=\frac{\partial f_n(x^0_1,...x^0_N)}{\partial x_m}+\frac{1}{2} \sum_{k=1}^N\frac{\partial^2 f_n(x^0_1,...x^0_N)}{\partial x_k \partial x_m}(x_k-x_k^0)+ \frac{1}{6} \sum_{k,l=1}^N\frac{\partial^3 f_n(x^0_1,...x^0_N)}{\partial x_l \partial x_k \partial x_m}(x_l-x_l^0)(x_k-x_k^0)+...$
Если определитель обобщенной матрицы Якоби не равен нулю в односвязной замкнутой области изменения $x_k,x_k^0,k=1,...,N$, то каждой точке $y_n-y_n^0=0,n=1,...,N$ соответствует единственная точка $x_k-x_k^0=0,k=1,...,N$, при этом $y_n^0=y_n(x_1^0,...,x_N^0)$ по построению формулы и значит справедливо $y_n=y_n(x_1,...,x_N)$.
Доказательство.
Рассмотрим разложение в ряд Тейлора функции N переменных. При введении обобщенной матрицы Якоби разложение единственным образом запишется в виде
$y_l-y_l^0=\sum_{k=1}^N A_{lk} (x_k-x_k^0)$
В силу не равенства нулю определителя обобщенной матрицы Якоби каждому значению $y_l=y_l^0,l=1,...,N$
соответствует единственное значение переменной $x_k=x_k^0,k=1,...,N$

[shwedka]

Цитата:

При введении обобщенной матрицы Якоби разложение единственным образом запишется в виде
$y_l-y_l^0=\sum_{k=1}^N A_{lk} (x_k-x_k^0)$

a теперь без жульничества запишем снова зависимость матрицы от $x$

$y-y^0=A(x)(x-x^0)$
Теперь вполне может быть, что
есть точка $x_1$
такая, что, действительно,
$y-y^0=A(x^1)(x^1-x^0)$
и точка $x^2$
такая, что
$y-y^0=A(x^2)(x^2-x^0)$.
Каждое из уравнений, конечно, единственно разрешимо, при фиксированной матрице, но уравнений-то два, матриц две! решений два.

то каждой точке $y_n-y_n^0=0,n=1,...,N$

-- Чт мар 28, 2013 13:43:36 --

evgeniy в сообщении #702609 писал(а):

Shwedka это просто жульничество с Вашей стороны, стоит переформулировать теорему и Вы это знаете, и она будет справедлива.

Жульничество Ваше. Я просила, специально указывая на детали, точно и полно сформулировать, Вы же не захотели. Вольному воля.А тепрь, будучи в очередной раз пойманным на вранье, начали вилять!

А заявления вида и Вы это знаете - это хамство с Вашей стороны, нечего мне приписывать Вашу чушь!

[shwedka]

evgeniy в сообщении #702609 писал(а):

она будет справедлива.
Обобщенная матрица Якоби, зависящая от переменных $x_1,...,x_N,x_1^0,..,x_N^0$ определяется по формуле
$A_{nm}=\frac{\partial f_n(x^0_1,...x^0_N)}{\partial x_m}+\frac{1}{2} \sum_{k=1}^N\frac{\partial^2 f_n(x^0_1,...x^0_N)}{\partial x_k \partial x_m}(x_k-x_k^0)+ \frac{1}{6} \sum_{k,l=1}^N\frac{\partial^3 f_n(x^0_1,...x^0_N)}{\partial x_l \partial x_k \partial x_m}(x_l-x_l^0)(x_k-x_k^0)+...$
Если определитель обобщенной матрицы Якоби не равен нулю в односвязной замкнутой области изменения $x_k,x_k^0,k=1,...,N$

Ну, вот, дожили до ответа, который, хоть иногда, срабатывает.
Что изменилось? не осталось никакой матрицы Якоби, область стала односвязной (а Вы хоть знаете, что это значит для функций многих переменных?) якобы матрицу Якоби нужно считать как зависящую от двух точек, а не одной. В каждой точке нужно считать тьму производных.
Что осталось? огромное количество вычислений без уверенности, что они приведут к успеху.
Остались вопросы сходимости этих рядов, что для нескольких переменных работа, даже теоретически, сильно непростая. Для нескольких переменных банально приводятся примеры, даже аналитических функций, для которых ряд Тейлора сходится совсем не во всей области. И, даже если сходится, стоит вопрос о том, дает ли сумма ряда исходную функцию. Тоже не автоматически!А объем расчетов чудовищный. Для каждой пары точек кратный ряд суммировать...
Так что осталась сомнительная и ни к чему не пригодная чушь. Уж по крайней мере, бешено уступающая банальному вычислению функций в какой-то сетке точек и сравнению значений. Никакие производные не нужны.
И ТС не нужен.

[evgeniy]

Алгоритм позволяет сказать где граница одной обратной ветви решения, отделенной от другой обратной ветви решения в случае если преобразование является полиномом. Граница между разными областями обратной функции для некоторых преобразований, это значение точек $x_k.k=1,...,N$, где определитель обобщенной матрицы Якоби равен нулю. Причем граница не зависит от точки разложения в случае правой части полинома. Рассмотрим преобразование в виде полинома 3 степени по всем переменным
$F_l(x_1,...,x_N,x_1^0,...,x_N^0)=f_l+f_{lp}(x_p-x_p^0)+f_{lpq}(x_p-x_p^0) (x_q-x_q^0)+f_{lpqs}(x_p-x_p^0)(x_q-x_q^0)(x_s-x_s^0)$
обобщенная матрица Якоби равна
$A_{lp}(x_1,...,x_N,x_1^0,...,x_N^0)=f_{lp}+f_{lpq} (x_q-x_q^0)+f_{lpqs}(x_q-x_q^0)(x_s-x_s^0)=B_{lp}(x_1,...,x_N)$
этот полином, определяющий обобщенную матрицу Якоби, не зависит относительно какой точки его рассматривать, он благополучно пересчитывается в равное значение относительно произвольной точки. Причем обобщенная матрица якоби легко строится.
Причем в случае полинома разложение обобщенной матрицы Якоби можно брать относительно одной точки, значение обобщенных матриц Якоби относительно разных точек совпадут.
Таким образом можно решить сложную задачу по определению ветвей решения для обратной функции, в случае если преобразование является полиномом.
В случае преобразования не полинома, границу между разными ветвями определить сложнее. она соответствует границе общей области переменных $x_k,x_k^0,k=1,...,N$, между которыми имеется область, где не все компоненты $y_l,l=1,...,N$ имеют обратную функцию. преобразование разбивается на независимые преобразования, определитель Якоби которых не равен нулю.
Т.е. обобщенная матрица Якоби это инструмент по определению областей ветвей обратных функций.

[shwedka]

Цитата:

$x_k.k=1,...,N$, где определитель обобщенной матрицы Якоби равен нулю.

Вы себе противоречите. Якобы матрица Якоби по-Вашему зависит от ДВУХ точек, а не от одной, как Вы сейчас притворяетесь.

Цитата:

этот полином, определяющий обобщенную матрицу Якоби, не зависит относительно какой точки его рассматривать, он благополучно пересчитывается в равное значение относительно произвольной точки. Причем обобщенная матрица якоби легко строится.

Себе противоречите! Либо полином один и тот же, либо пересчитывается. Уж выбирайте!

Цитата:

Причем в случае полинома разложение обобщенной матрицы Якоби можно брать относительно одной точки, значение обобщенных матриц Якоби относительно разных точек совпадут.

Ошибочное утверждение.

evgeniy в сообщении #702924 писал(а):

где не все компоненты $y_l,l=1,...,N$ имеют обратную функцию

Чушь! ни одна из компонент сама по себе обратной функции не имеет!

evgeniy в сообщении #702924 писал(а):

Т.е. обобщенная матрица Якоби это инструмент по определению областей ветвей обратных функций.

Все недостатки указаны выше. Инструмент неточный и грубый.

[nnosipov]

evgeniy в сообщении #702924 писал(а):

обобщенная матрица Якоби равна
$A_{lp}(x_1,...,x_N,x_1^0,...,x_N^0)=f_{lp}+f_{lpq} (x_q-x_q^0)+f_{lpqs}(x_q-x_q^0)(x_s-x_s^0)=B_{lp}(x_1,...,x_N)$
этот полином, определяющий обобщенную матрицу Якоби, не зависит относительно какой точки его рассматривать, он благополучно пересчитывается в равное значение относительно произвольной точки. Причем обобщенная матрица якоби легко строится.

Вот и прекрасно, постройте этот полином, например, для отображения $y_1=x_1^2-x_2^2$, $y_2=2x_1x_2$. И посмотрите, зависит он от $(x_1^0,x_2^0)$ или нет.

evgeniy в сообщении #702924 писал(а):

Т.е. обобщенная матрица Якоби это инструмент по определению областей ветвей обратных функций.

Пока это пустой трёп. Ни единого примера применения этого инструмента не продемонстрировано.

[evgeniy]

Я не прочел ваш первый комментарий. Отвечаю на него. Вопрос стоит об единственности обратной функции в случае не нулевой обобщенной матрицы Якоби. Допустим решений два.
$y-y^0=A(x^1)(x^1-x^0)$
$y-y^0=A(x^2)(x^2-x^0)$
Вычитаем из первого равенства второе и полагаем $X^1=x^0$, тогда имеем
$A(x^2)(x^2-x^1)=0$
Откуда получаем совпадение и единственность решений. потом отвечу на следующий комментарий.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #702960 писал(а):

Вычитаем из первого равенства второе и полагаем $X^1=x^0$

И не можете такое сделать! $x^1$ - предполагаемый корень, он вне Вашей власти, и его никем полагать Вы не имеете права!

[evgeniy]

Этот полином, где $x_l^0$ это первоначально заданные константы, можно пересчитать
$A_{lp}(x_1,...,x_N,x_1^0,...,x_N^0)=f_{lp}+f_{lpq} (x_q-x_q^0)+f_{lpqs}(x_q-x_q^0)(x_s-x_s^0)=B_{lp}(x_1,...,x_N)$
в полином
$A_{lp}(x_1,...,x_N,x_1^0,...,x_N^0)=g_{lp}+g_{lpq} (x_q-u_q^0)+g_{lpqs}(x_q-u_q^0)(x_s-u_s^0)=B_{lp}(x_1,...,x_N)$
причем эти полиномы пересчитываются равными. где ВЫ нашли противоречие не представляю, это представление одного и того же полинома. В случае бесконечного ряда такое невозможно, так как тогда $f_{lpq}$ зависит от величины $x_n^0$, а в случае полинома это константа.
Т.е. для полинома получается зависимость только от величины $x_l,l=1,...,N$ и первоначально заданных констант.

Вне области, где обобщенный определитель Якоби не равен нулю, и не совпадении пространств $x_l,x_l^0,l=1,...,N$ определитель Якоби имеет ранг r меньше N и в нем задано преобразование N-r мерного пространства в N-r мерное пространство. Это не граница, это переходная зона, в которой пространства изменения переменных $x_l,x_l^0,l=1,...,N$, удовлетворяющих условию не равенства нулю определителя не совпадают. В случае полинома переходной зоны нет.

Цитата shwedka
И не можете такое сделать! $x^1$ - предполагаемый корень, он вне Вашей власти, и его никем полагать Вы не имеете права!
дело в том, что $x^0$ в формуле определяет значение $y^0$ и коэффициентов разложения в ряд. почему я не могу изменить этот параметр, присвоив ему значение $x^1$. равенство
$y(x^1)-y^0(x^0)=A(x^1)(x^1-x^0)$
при этом сохранится.