Неравенство

[devgen]

Не понимаю, откуда берутся неравенства:

$\ln(1)+\ln(2)+...+\ln(n-1)\leq\int_{1}^{n}(\ln(x)dx)=n(\ln(n)-1)+1$

и

$\ln(1)+\ln(2)+...+\ln(n-1)+\ln(n)\geq\int_{1}^{n}(\ln(x)dx)=n(\ln(n)-1)+1$

Со вторым понятно(?): у меня прямоугольники "торчат" над графиком и отсюда следует неравенство.
А почему верно первое: как понять, что в сумме "торчащие" кусочки накопились не больше, чем $\int_{n-1}^{n}(\ln(x)dx)$ ?

[ИгорЪ]

В аргументе под интегралом $x$?

[devgen]

Да, исправил

[ИСН]

В первом картинка ровно та же самая, что во втором, только прямоугольники обрезаны под графиком.

[ИгорЪ]

Интеграл отлогарифма - табличный, а неравенства, верхнее - интеграл, как площадь под кривой, аппроксимируется прямоугольниками с основанием один и дискретно растущей высотой $ln(n)$ под графиком логарифма, потому меньше истинного значения, нижнее - прямоугольниками над графиком, потому больше.

[SpBTimes]

Если функция $f(x) \geqslant 0$ И монотонно возрастает, то $\int_n^{n + 1} f(x) dx \geqslant f(n) $
Тогда $\int_{1}^{n} f(x) dx \geqslant f(1) + ... + f(n - 1)$

Или же: $\int_{n}^{n + 1} f(x) dx \leqslant f(n + 1)$, ну а тогда
$\int_{1}^{n + 1} f(x) dx \leqslant f(1) + ... + f(n)$

[devgen]

Спасибо!