Определить длину объекта по тени

[worm2]

Объект, имеющий форму параллелепипеда, стоит одной из своих граней на горизонтальной поверхности. Сам объект не виден (по крайней мере, его верх), но хорошо видна его тень (на этой же горизонтальной поверхности). Солнца нам тоже не видно, также, разумеется, неизвестна его угловая высота над горизонтом (иначе задачка была бы совсем тривиальной). Других теней тоже принципиально нет, в т.ч. мы не можем, например, сами ходить и смотреть на длину своей тени или наблюдать тень от объекта на чём-либо ином, кроме данной поверхности. Но можем измерять существующую тень как угодно и чем угодно, в каком угодно направлении. Возможно, стоит ещё уточнить, что основание тени доступно для наблюдений, т.е. длина самой тени известна. Чтобы не было мешающих сложностей, уточню, что солнце светит на объект "плашмя", т.е. направление тени параллельна одному из рёбер (точнее, 4-м из них), т.е. тень имеет форму прямоугольника.

Ну, вроде всё. Если какие-то вопросы возникнут, отвечу.
Как, наверное, все уже догадались, требуется определить высоту объекта.

[EtCetera]

Вот несколько вариантов:
1. Длина полутени
Обозначим искомую высоту $H$, длину полной тени $L$, длину полутени $l$, угловую высоту Солнца над горизонтом $\beta$, его (Солнца) угловой диаметр $\alpha$. Тогда справедливы следующие приближенные соотношения
$\sin\beta\approx\dfrac{H}{\sqrt{H^2+L^2}}$
$\dfrac{\sqrt{H^2+L^2}}{\sin\beta}\approx\dfrac{l}{\sin\alpha}\approx\dfrac{l}{\alpha}$
Отсюда получаем два возможных значения $H$ (какой из них верный можно определить "на глазок"):
$H\approx\dfrac{l\pm\sqrt{l^2-4L^2\alpha^2}}{2\alpha}$
Такой подход применим для "средних" значений угловой высоты Солнца. Для больших (почти "зенитных" $\dfrac{\pi}{2}$) и (возможно, точно не уверен) маленьких значений значений угловой высоты надо составлять более точные формулы (и при решении выползет биквадратное уравнение), но это тоже, в общем-то, не проблема.
2. Температурные различия между областью тени, в которую прямые лучи солнца попадают, проходя через всю толщу параллелепипеда, и областью (близкую к области полутени), в которую прямые лучи солнца попадают, проходя через более тонкую верхнюю часть
Малореально (в частности, необходимо резко уменьшить влияние непрямых солнечных лучей на область тени; для этого необходимо построить массивные бетонные укрепления, защищающие область тени от отраженного света) и полуфантастично.
3. Дифракция на краю параллелепипеда
Тут вариантов очень много, но для всех необходимо применение дополнительных способов, превращающих лучик солнечного света в хотя бы приблизительно монохроматический. По смыслу сходно с полутенью (только вместо границы полутени берется некоторый максимум/минимум на дифракционной картине).
Очень сложно добиться даже частичного попадания в жесткие рамки условия.
Итак, наиболее реальный вариант - использование полутени (если, конечно, такой вариант не запрещен условием).

[worm2]

Да, Вы правы, именно использование полутени имелось в виду. Конечно, задача не была рассчитана на людей, хорошо знакомых с оптикой, которые сразу сообразили, что к чему Скорее школьная.
Правда, и здесь есть несколько более простой путь, позволяющий к тому же избежать неоднозначности

-- Пт сен 18, 2009 00:52:04 --

Эх, надо было написать, что толщиной параллелепипеда (длиной ребра в направлении солнца) можно пренебречь... Т.е. это не параллелепипед, а тонкая стенка, обращённая "лицом" к солнцу.

[dozo]

EtCetera в сообщении #244206 писал(а):

Вот несколько вариантов:
1. Длина полутени
Обозначим искомую высоту $H$, длину полной тени $L$, длину полутени $l$, угловую высоту Солнца над горизонтом $\beta$, его (Солнца) угловой диаметр $\alpha$. Тогда справедливы следующие приближенные соотношения
$\sin\beta\approx\dfrac{H}{\sqrt{H^2+L^2}}$
$\dfrac{\sqrt{H^2+L^2}}{\sin\beta}\approx\dfrac{l}{\sin\alpha}\approx\dfrac{l}{\alpha}$
Отсюда получаем два возможных значения $H$ (какой из них верный можно определить "на глазок"):
$H\approx\dfrac{l\pm\sqrt{l^2-4L^2\alpha^2}}{2\alpha}$
Такой подход применим для "средних" значений угловой высоты Солнца. Для больших (почти "зенитных" $\dfrac{\pi}{2}$) и (возможно, точно не уверен) маленьких значений значений угловой высоты надо составлять более точные формулы (и при решении выползет биквадратное уравнение), но это тоже, в общем-то, не проблема.
2. Температурные различия между областью тени, в которую прямые лучи солнца попадают, проходя через всю толщу параллелепипеда, и областью (близкую к области полутени), в которую прямые лучи солнца попадают, проходя через более тонкую верхнюю часть
Малореально (в частности, необходимо резко уменьшить влияние непрямых солнечных лучей на область тени; для этого необходимо построить массивные бетонные укрепления, защищающие область тени от отраженного света) и полуфантастично.
3. Дифракция на краю параллелепипеда
Тут вариантов очень много, но для всех необходимо применение дополнительных способов, превращающих лучик солнечного света в хотя бы приблизительно монохроматический. По смыслу сходно с полутенью (только вместо границы полутени берется некоторый максимум/минимум на дифракционной картине).
Очень сложно добиться даже частичного попадания в жесткие рамки условия.
Итак, наиболее реальный вариант - использование полутени (если, конечно, такой вариант не запрещен условием).

а можно график?

-- 28.03.2013, 00:56 --

worm2 в сообщении #244174 писал(а):

Объект, имеющий форму параллелепипеда, стоит одной из своих граней на горизонтальной поверхности. Сам объект не виден (по крайней мере, его верх), но хорошо видна его тень (на этой же горизонтальной поверхности). Солнца нам тоже не видно, также, разумеется, неизвестна его угловая высота над горизонтом (иначе задачка была бы совсем тривиальной). Других теней тоже принципиально нет, в т.ч. мы не можем, например, сами ходить и смотреть на длину своей тени или наблюдать тень от объекта на чём-либо ином, кроме данной поверхности. Но можем измерять существующую тень как угодно и чем угодно, в каком угодно направлении. Возможно, стоит ещё уточнить, что основание тени доступно для наблюдений, т.е. длина самой тени известна. Чтобы не было мешающих сложностей, уточню, что солнце светит на объект "плашмя", т.е. направление тени параллельна одному из рёбер (точнее, 4-м из них), т.е. тень имеет форму прямоугольника.

Ну, вроде всё. Если какие-то вопросы возникнут, отвечу.
Как, наверное, все уже догадались, требуется определить высоту объекта.

а какое практическое применение данной задачи вы видите? ну, в технике...

[Munin]

К полутени.
Смотрим на тень угловой стороны - она образует расходящийся угол. Зная угловой размер Солнца (полградуса, кстати), находим высоту Солнца над горизонтом.

И точность небольшая...

[hurtsy]

worm2 в сообщении #244174 писал(а):

Ну, вроде всё. Если какие-то вопросы возникнут, отвечу.

Сдается мне, у вас атмосферные условия явно типа лунных в крайнем случае выше "заоблачных", имеются в виду серебристые облака.

Munin в сообщении #702383 писал(а):

И точность небольшая...

Скажите пожалуйста, какова точность для "здравого смысла"? С уважением,