Сумма квадратов трёх наименьших попарно различных делителей

[Ktina]

Пусть $n$ -- составное натуральное число и пусть $S_n$ -- сумма квадратов трёх наименьших попарно различных натуральных делителей числа $n$.

Какое наименьшее значение может принимать

$$|n-S_n|$$

?

[gris]

Типа $18-(1^2+2^2+3^2)=4$ или $\big |20-(1^2+2^2+4^2)\big |=1$

То есть предлагается найти равенство?

We'll need a search running.
It has already begun.

[Ktina]

gris
Это не наименьшее

-- 27.03.2013, 12:42 --

Да там ещё и 4, а не 3.

-- 27.03.2013, 12:48 --

gris в сообщении #702033 писал(а):

$\big |20-(1^2+2^2+4^2)\big |=1$
То есть предлагается найти равенство?

Предлагается попытаться его найти

[gris]

Если взять необязательно наименьшие делители, то вот хороший пример:
$2^2+4^2+10^2=120$
"Значит, дело в единичке", — смекнул я.

[Shadow]

gris в сообщении #702151 писал(а):

"Значит, дело в единичке", — смекнул я.

Ага. Единичка и два другие делителя (любые) тоже не получится.

-- 27.03.2013, 15:44 --

опс...минуточку..

-- 27.03.2013, 16:28 --

Получится. Я проигнорировал $1+a^2+b^2=abc$ т.к было условие $c>b>a$, но без етого условия получается.

-- 27.03.2013, 16:34 --

gris в сообщении #702151 писал(а):

Значит, дело в единичке

$1^2+5^2+13^2=195$ Все таки дело в наименьших..

[Shadow]

Или в Вашем примере поделить на 4.

[hippie]

Ktina в сообщении #702034 писал(а):

gris в сообщении #702033 писал(а):

$\big |20-(1^2+2^2+4^2)\big |=1$
То есть предлагается найти равенство?

Предлагается попытаться его найти

Очевидно, что равенства не бывает.

Пусть наименьшие множители 1, $p$ и $q$ ($p<q$).
Тогда $p$ простое, и либо $q=p^2$ либо $q$ тоже простое.
В первом случае $n$ кратно $p,$ а $S_n$ — не кратно.
Во втором — для равенства $n=S_n\quad S_n$ должно быть кратно $pq.$ При этом $2<\frac {S_n}{pq} <q.$ Следовательно, $\frac {S_n}{pq} =p.$ Тогда $1+q^2=(q-1)p^2,$ т.е. $p=\sqrt{q+1+\frac 2{q-1}},$ что невозможно.

(Оффтоп)

Кроме упоминавшихся Shadow $1+2^2+5^2=2\cdot 5\cdot 3$ и $1+5^2+13^2=5\cdot 13\cdot 3$ есть ещё $1+89^2+233^2=89\cdot 233\cdot 3.$

[Shadow]

(Оффтоп)

Решений бесконечно много даже если зафиксировать третий множитель на 3. От уравнения $1+a^2+b^2=3ab$ получаем уравнение Пелля $5b^2-z^2=4$
Целых две серии решений, (вторую не заметил). Я хотел свести к $1+a^2+b^2=a^nb$ без ограничений, но так и не получилось составить правильное условие.

[Ktina]

hippie в сообщении #702353 писал(а):

Очевидно, что равенства не бывает.

Пусть наименьшие множители 1, $p$ и $q$ ($p<q$).
Тогда $p$ простое, и либо $q=p^2$ либо $q$ тоже простое.
В первом случае $n$ кратно $p,$ а $S_n$ — не кратно.
Во втором — для равенства $n=S_n\quad S_n$ должно быть кратно $pq.$ При этом $2<\frac {S_n}{pq} <q.$ Следовательно, $\frac {S_n}{pq} =p.$ Тогда $1+q^2=(q-1)p^2,$ т.е. $p=\sqrt{q+1+\frac 2{q-1}},$ что невозможно.

Если $n$ делится на 3 и чётно, то оно равно 14 -- противоречие.
Если $n$ делится на 3 и нечётно, то сумма квадратов трёх делителей имеет вид $k^2+10$, а значит на 3 делится не может.
Если $n$ не делится на 3, то все его делители не делятся на 3, а значит сумма квадратов трёх делителей да делится на 3 -- противоречие.

[Shadow]

Очень хорошо, Ktina
Первый случай можно не рассматривать. И четность тоже.