Центр масс конуса

[Mr_Medynets]

Я решил не создавать новую тему:
Помогите решить:
Нужно найти центр масс конуса, если известна длина его боковой стороны, радиус, угол между осью проходящую через центр и боковой стороной. Или подскажите где можно найти. Заранее спасибо

photon:

А я думаю, тему все-таки надо создать новую, ибо оффтопик

[photon]

Отделено от этой темы

[незваный гость]

Центр масс вдоль оси $x$ вычисляется как $\frac{\int\!\!\!\int\limits_V \!\!\!\int x \rho {\rm d}V}{\int\!\!\!\int\limits_V \!\!\!\int \rho {\rm d}V}$, где $\rho$ — плотность. Ваша задача несколько упрощается тем, что Ваш конус, судя по всему, является телом вращения.

[XilefNori]

Ребят объясните пожалуйста: почему центр масс у конуса расположен на 1/4 высоты от основания?

Обычный прямой круговой конус с одинаковой плотностью по всему объему.

Я считал что если мы разделим конус плоскостью параллельной основанию и проходящей через центр масс, то массы получившихся фигур (меньшего конуса и усеченного конуса) должны быть равны: $M_1 = M_2$

А если они равны, то должны быть равны и их объемы (плотность то одинаковая): $V_1 = V_2$

Раз точка центра масс расположена на 1/4 высоты от основания (или на 3/4 высоты от вершины) тогда получаем, что объем левого маленького конуса равен: $V_1={1 \over 3} \pi R^2H'; H' = {3 \over 4} H$

Поскольку мы имеем дело к конусом, то изменение радиуса R прямо пропорционально изменению высоты H: $R = H \cdot tg(\alpha) $

Таким образом получаем что объем левого конуса равен:

$V_1={1 \over 3} \pi tg^2(\alpha) H'^3, H' = {3 \over 4} H$
$V_1={1 \over 3} \pi tg^2(\alpha) ({3 \over 4} H )^3$
$V_1={1 \over 3} \pi tg^2(\alpha) {27 \over 64} H^3$

Учитывая что объем прежнего конуса: $V={1 \over 3} \pi tg^2(\alpha) H^3$

Получаем, что $V_1={27 \over 64} V$

Вроде как получается что 27/64 никак не тянут на 1/2.

А вот если взять соотношение 1 к 5 высоты от основания (или на 4/5 высоты от вершины) тогда получаем: $V_1={64 \over 125} V$, что несколько ближе к 1/2.

Везде где только смотрел утверждается что центр масс расположен на 1/4 от основания. Соответственно вопрос: где я накосячил?

[RIP]

XilefNori писал(а):

Я считал что если мы разделим конус плоскостью параллельной основанию и проходящей через центр масс, то массы получившихся фигур (меньшего конуса и усеченного конуса) должны быть равны:

А это ещё с какой радости?

[XilefNori]

RIP писал(а):

XilefNori писал(а):

Я считал что если мы разделим конус плоскостью параллельной основанию и проходящей через центр масс, то массы получившихся фигур (меньшего конуса и усеченного конуса) должны быть равны:

А это ещё с какой радости? Wink

Я считал так:
1. Если мы подвесим тело за центр масс то оно должно остаться в покое (все силы будут скопменсированны и вращательного дижения не будет)
2. Дальше я считал что система состоящая из двух отдельных (но соединенных вместе) тел полученных путем разреза конуса через центр масс паралельно основанию конуса будет эквивалентной целому конусу.
3. Тогда получаем систему из двух тел находящуюся в покое. Единственные сила действующая на систему это сила тяжести. Силы скомпенсированны значит массы одинаковые.

Вероятно косяк на втором шаге, но почему я не понимаю.

[незваный гость]

«Половинки» конуса уравновесят друг друга, если моменты сил будут равны. А для этого нужно учесть положение центра тяжести каждой из половинок. В силу несимметричности конуса, имеет быть разное положение оных центров тяжести.

[neo66]

XilefNori писал(а):

Ребят объясните пожалуйста: почему центр масс у конуса расположен на 1/4 высоты от основания?

Вам же дал незваный гость формулу. Разрезаете конус перпендикулярно высоте на окружности и суммируете:
$\frac{\int\!\!\!\int\limits_V \!\!\!\int x \rho {\rm d}V}{\int\!\!\!\int\limits_V \!\!\!\int \rho {\rm d}V}= \frac{\int\limits_0^h x\rho(x)dx}{\int\limits_0^h \rho(x)dx}$, где $h$ - высота конуса, а $\rho(x)=\pi x^2\tg^2\alpha$ - площадь разреза.

[XilefNori]

neo66 писал(а):

Вам же дал незваный гость формулу. Разрезаете конус перпендикулярно высоте на окружности и суммируете:
$\frac{\int\!\!\!\int\limits_V \!\!\!\int x \rho {\rm d}V}{\int\!\!\!\int\limits_V \!\!\!\int \rho {\rm d}V}= \frac{\int\limits_0^h x\rho(x)dx}{\int\limits_0^h \rho(x)dx}$, где $h$ - высота конуса, а $\rho(x)=\pi x^2\tg^2\alpha$ - площадь разреза.

Ну тупой, тупой!
Почему-то сделать переход от $\frac{\int\!\!\!\int\limits_V \!\!\!\int x \rho {\rm d}V}{\int\!\!\!\int\limits_V \!\!\!\int \rho {\rm d}V}$ к $\frac{\int\!\!\!\int\limits_V \!\!\!\int x \rho {\rm d}V}{\int\!\!\!\int\limits_V \!\!\!\int \rho {\rm d}V}= \frac{\int\limits_0^h x\rho(x)dx}{\int\limits_0^h \rho(x)dx}$ я не допер...

Спасибо!