x^(x+y)=y^(y-x) Решить в натуральных числах

[AndAll]

Anar Yusifov писал(а):

to AndAll

Признаю что был излишне импульсивным... Возможно именно это и послужило причиной вашего очередного заблуждения... На самом деле наши решения эквивалентны, т.к. выходят из самых общих предположений... Ниодно решение я не мог упустить! (последний раз восклицаю )... Пусть Т - это моё t. Тогда используя ваши обозначения получим что T=p^{t-s}=\frac {t+s} {t-s}.

С Уважением, Анар.

P.S. Мне кажеться, что моё решение более интерестное, т.к. даёт представление о решении в параметрическом виде более наглядно. Мало того ваше решение тоже притендует на это, но как мне кажеться, оно выглядит не так красиво. Впрочем о вкусах не спорят.

Уважаемый Анар!
Человеку свойственно ошибаться (и даже заблуждаться) и ничего человеческое нам не чуждо. Заметьте - нам.

Я Вам указал на наименьшее из потерянных Вами решений. И хотя их на самом деле всего счетное множество счетных множеств, я не берусь их сосчитать.
Если я действительно заблуждаюсь, покажите при каком Вашем t оно получается. При этом прошу пользоваться только первым Вашим решением (я имею в виду первое Ваше сообщение в этой теме) и не вводить новых условий для t (т. е. t должно быть целым (второе Ваше сообщение)(добавлено)). Если заблуждаюсь я - Вы его получите. В противном случае...
Я сам не проверял возможность его получения (Вашим методом, естественно (добавлено)),а исхожу из некоторых общих рассуждений.
Возможно они неверны (см. начало).

С уважением AndAll

[evgeny]

Может быть AndAll не до конца описал свои решения (т.е не ввел явную параметризацию), но общий вид его решений такой ($b = t-s, \ A = p,\ t+s = bA^b$)

$$ x = A^{\frac {b(A^b-1)}{2}}\ \ y = A^{\frac {b(A^b+1)}{2} $$

для любых $A,b\in \mathbb N$ кроме случая $A$ четно и $b$ нечетно. Это совпадает с решениями Anar Yusifov $x = T^{\frac {T-1}{2}},\ y = T^{\frac {T+1}{2}}}$ при параметризации $T = A^b =p^{t-s} $.
При $T=27 = 3^3$ пролучается решение $x=3^{39},\ y = 3^{42}$

На счет красоты спорить можно долго, но обычно однопараметрические серии "лучше" двупараметрических, так что ответ Anar Yusifov "лучше", чего нельзя сказать о решении.

[Anar Yusifov]

to evgeny
Спасибо конечно за поддержку разговора но немогу согласиться с тем что моё решение хуже:

Цитата:

... так что ответ Anar Yusifov "лучше", чего нельзя сказать о решении.

(если я вас правильно понял).
Ещё раз повторяю и буду повторять что решения эквивалентны. Кроме того повторю что не потерял ни одного решения. привожу здесь всё моё первое решение чтобы всё было перед глазами

Anar Yusifov писал(а):

to loser

Я попробовал другую замену переменных (т.к. усомнился в вашем результате). Посмотрите что получилось:
Пусть $y=tx$, тогда, после небольших приобразований, получим ответ:
$x=t^{\frac {t-1} 2}$
$y=t^{\frac {t+1} 2}$.
возьмём теперь любое нечётное $t=2k-1$ и получим ответ в натуральных числах. Кроме того если взять $t=r^2$ то получим ещё решения. Других наверное нет.

С Уважением, Анар.

Как видно докозать то что я решил задачу неупустив ниодного решения очень легко. Как только мы находим (утверждаем что существуют) решения (Х, У) этой задачи у нас появляется возможность вычислить $t$ по формуле $t=\frac y x$. Теперь осталось только указать при каких $t$ пара (Х, У) будет целой. Вариант с целыми $t$ разобран в первом посте. Предположим теперь что $t=\frac p q$. Естественно что p и q неимеют общего делителя и натуральные, кроме того $p>q$. Таким образом совершенно ясно что ${(x|y)}^{2q}={(\frac p q)}^{p \mp q}$. Т.к. в обоих случаях степень целая и положительная, а дробь несократимая, то получим что целое в целой степени дробно... противоречие достигнуто ввиду неправильности изначального предложения о дробности $t$. Слава Богу, что случай иррационального $t$ можно упустить ввиду невозможности этого варианта ($t=\frac y x$ при целых иксах и игриках не может быть иррациональными).

С Уважением, Анар.

[AndAll]

Уважаемый Анар!
Больше не полагаясь на общие рассуждения, взял бумагу и перо.
Ваше решение действительно полно. Беру назад свои слова о его неполноте.
Более того, учитывая постановку задачи, признаю его лучшим, чем мое, т. к. вычленять бесконечное множество натуральных решений из непрерывной функции все же дело неблагодарное.

Желаю успеха
AndAll

P. S. Спасибо всем, кто отвечал на мои посты.

[Anar Yusifov]

Ничего страшного в том что вы поторопились с высказываниями нет. Я просто не хотел вводить в заблуждения формулян. Поэтому так жёстко отстаивал своё решение. Честно говоря давно у меня небыло такой остренькой беседы... Спасибо вам за неё, надеюсь что будут и ещё .

С Уважением, Анар.

[Аурелиано Буэндиа]

cepesh писал(а):

Классный график у функции! =) Ни разу такого не видел!

Гм. Сepesh, меня гложут сомнения, я немного поэкспериментировал с smartplot и вот что получил:

команда smartplot(x^2+y^(15)=10);

даёт

Но я абсолютно уверен, что график должен быть другой!