При каких значениях параметра...

[Omega]

Уважаемые форумчане, помогите пожалуйста решить следующую задачу:
Найти все значения параметра $a$, при которой любой корень уравнения -

$$3\sin^{3}{x}+(a-2)(2a-5)\cos^{3}{x}-2(a-2)^{2}\cos{x}=0$$

является корнем уравнения -

$$\log_{5}{(2\ctg{x}+3)}-\log_{\sqrt{5}}{(6-\ctg{x})}-\dfrac{1}{2}\log_{\sqrt{5}}{(3\ctg{x}+2)}=1$$

и, наоборот, любой корень второго уравнения является корнем первого уравнения.
Абсолютно ничего не могу придумать, кроме как:

$$\log_{5}{(2\ctg{x}+3)}-\log_{\sqrt{5}}{(6-\ctg{x})}-\dfrac{1}{2}\log_{\sqrt{5}}{(3\ctg{x}+2)}=1 \Leftrightarrow $$

$$\dfrac{2\ctg{x}+3}{(6-\ctg{x})^{2}(3\ctg{x}+2)}=5 \Leftrightarrow$$

$$15\ctg^{3}{x}-170\ctg^{2}{x}+418\ctg{x}+357=0$$

Очевидно, решать последнее уравнение - бессмысленно.
Как решать эту задачу? Что нужно делать?

[Shadow]

В первое уравнение можно поделить на $\sin^3{x}$ и тоже получится уравнение относительно $\ctg x$.

[Omega]

Тогда получится:

$$((a-2)(2a-5)-2(a-2)^{2})\ctg^{3}{x}-2(a-2)^{2}\ctg{x}+3=0$$

Но как добиться этой "равносильности"?

[ИСН]

Ну упростить-то можно первый коэффициент, или это Пушкин должен?

[Omega]

ИСН, разве это что-то меняет?

$$(2-a)\ctg^{3}{x}-2(a-2)^{2}\ctg{x}+3=0$$

[ИСН]

Всё меняет. Дым рассеялся и стало видно, что здесь нет слагаемого с квадратом. А там есть.

[Omega]

Вот-вот, я о том же, и как быть? Я уже несколько раз и очень тщательно все перепроверил и ошибок в выкладках не нашёл.
В условии опечатки также нет: "Задачи с параметрами. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. стр. 265. № задания - IV.133"

Пожалуйста, кто-нибудь, помогите.

[NhSsUe]

можно попробовать взять линейную комбинацию 2х уравнений, чтоб избавится от куба. потом проверить, чтоб корень квадратного уравнения был корнем исходных.

[Omega]

NhSsUe, вашим способом так же,к сожалению, ничего толкового у меня не выходит - должно быть, по-моему, проще.
Может кто-нибудь выскажет ещё какую-нибудь идею?

[tiktak]

Опечатка авторов книги мне кажется. Так как задача видимо с вступительных на эконом. фак. мгу 1988 года, где решение второго уравнения угадывается сразу

[Omega]

tiktak, и я уже начинаю склонятся к тому, что в задании опечатка. Быть может у кого-то есть книга, название которой я приводил выше, и он посмотрит написано у него то же самое - или нет?

[mihailm]

Здесь
Нестеренко Ю.В., Олехник С.Н., Потапов М.К., Задачи вступительных экзаменов по метематике, 1995
Во втором логарифме $\frac{1}{5}$

[Praded]

Так и здесь

Omega в сообщении #700702 писал(а):

Вот-вот, я о том же, и как быть? Я уже несколько раз и очень тщательно все перепроверил и ошибок в выкладках не нашёл.
В условии опечатки также нет: "Задачи с параметрами. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. стр. 265. № задания - IV.133"

Пожалуйста, кто-нибудь, помогите.

во втором логарифме $1/5$.

[Omega]

Ну так есть ли опечатка в задании? Или же - нет?

[Praded]

Даже на той картинке, которую вы привели, во втором логарифме стоИт $1/5$, а не $\sqrt5$, как у вас первом сообщении.