2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 При каких значениях параметра...
Сообщение24.03.2013, 10:23 
Аватара пользователя
Уважаемые форумчане, помогите пожалуйста решить следующую задачу:
Найти все значения параметра $a$, при которой любой корень уравнения -
$$3\sin^{3}{x}+(a-2)(2a-5)\cos^{3}{x}-2(a-2)^{2}\cos{x}=0$$
является корнем уравнения -
$$\log_{5}{(2\ctg{x}+3)}-\log_{\sqrt{5}}{(6-\ctg{x})}-\dfrac{1}{2}\log_{\sqrt{5}}{(3\ctg{x}+2)}=1$$
и, наоборот, любой корень второго уравнения является корнем первого уравнения.
Абсолютно ничего не могу придумать, кроме как:
$$\log_{5}{(2\ctg{x}+3)}-\log_{\sqrt{5}}{(6-\ctg{x})}-\dfrac{1}{2}\log_{\sqrt{5}}{(3\ctg{x}+2)}=1 \Leftrightarrow $$
$$\dfrac{2\ctg{x}+3}{(6-\ctg{x})^{2}(3\ctg{x}+2)}=5 \Leftrightarrow$$
$$15\ctg^{3}{x}-170\ctg^{2}{x}+418\ctg{x}+357=0$$
Очевидно, решать последнее уравнение - бессмысленно.
Как решать эту задачу? Что нужно делать?

 
 
 
 Re: При каких значениях параметра...
Сообщение24.03.2013, 11:26 
В первое уравнение можно поделить на $\sin^3{x}$ и тоже получится уравнение относительно $\ctg x$.

 
 
 
 Re: При каких значениях параметра...
Сообщение24.03.2013, 11:42 
Аватара пользователя
Тогда получится:
$$((a-2)(2a-5)-2(a-2)^{2})\ctg^{3}{x}-2(a-2)^{2}\ctg{x}+3=0$$
Но как добиться этой "равносильности"?

 
 
 
 Re: При каких значениях параметра...
Сообщение24.03.2013, 11:43 
Аватара пользователя
Ну упростить-то можно первый коэффициент, или это Пушкин должен?

 
 
 
 Re: При каких значениях параметра...
Сообщение24.03.2013, 11:48 
Аватара пользователя
ИСН, разве это что-то меняет?
$$(2-a)\ctg^{3}{x}-2(a-2)^{2}\ctg{x}+3=0$$

 
 
 
 Re: При каких значениях параметра...
Сообщение24.03.2013, 12:07 
Аватара пользователя
Всё меняет. Дым рассеялся и стало видно, :D что здесь нет слагаемого с квадратом. А там есть.

 
 
 
 Re: При каких значениях параметра...
Сообщение24.03.2013, 12:09 
Аватара пользователя
Вот-вот, я о том же, и как быть? Я уже несколько раз и очень тщательно все перепроверил и ошибок в выкладках не нашёл.
В условии опечатки также нет: "Задачи с параметрами. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. стр. 265. № задания - IV.133"
Изображение
Пожалуйста, кто-нибудь, помогите.

 
 
 
 Re: При каких значениях параметра...
Сообщение24.03.2013, 13:19 
можно попробовать взять линейную комбинацию 2х уравнений, чтоб избавится от куба. потом проверить, чтоб корень квадратного уравнения был корнем исходных.

 
 
 
 Re: При каких значениях параметра...
Сообщение24.03.2013, 14:46 
Аватара пользователя
NhSsUe, вашим способом так же,к сожалению, ничего толкового у меня не выходит - должно быть, по-моему, проще.
Может кто-нибудь выскажет ещё какую-нибудь идею?

 
 
 
 Re: При каких значениях параметра...
Сообщение24.03.2013, 14:47 
Опечатка авторов книги мне кажется. Так как задача видимо с вступительных на эконом. фак. мгу 1988 года, где решение второго уравнения угадывается сразу
Изображение

 
 
 
 Re: При каких значениях параметра...
Сообщение24.03.2013, 15:04 
Аватара пользователя
tiktak, и я уже начинаю склонятся к тому, что в задании опечатка. Быть может у кого-то есть книга, название которой я приводил выше, и он посмотрит написано у него то же самое - или нет?

 
 
 
 Re: При каких значениях параметра...
Сообщение24.03.2013, 15:16 
Здесь
Нестеренко Ю.В., Олехник С.Н., Потапов М.К., Задачи вступительных экзаменов по метематике, 1995
Во втором логарифме $\frac{1}{5}$

 
 
 
 Re: При каких значениях параметра...
Сообщение24.03.2013, 15:55 
Так и здесь
Omega в сообщении #700702 писал(а):
Вот-вот, я о том же, и как быть? Я уже несколько раз и очень тщательно все перепроверил и ошибок в выкладках не нашёл.
В условии опечатки также нет: "Задачи с параметрами. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. стр. 265. № задания - IV.133"
Изображение
Пожалуйста, кто-нибудь, помогите.
во втором логарифме $1/5$.

 
 
 
 Re: При каких значениях параметра...
Сообщение25.03.2013, 17:44 
Аватара пользователя
Ну так есть ли опечатка в задании? Или же - нет?

 
 
 
 Re: При каких значениях параметра...
Сообщение25.03.2013, 17:50 
Даже на той картинке, которую вы привели, во втором логарифме стоИт $1/5$, а не $\sqrt5$, как у вас первом сообщении.

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group