Система уравнений с параметром

[Omega]

Помогите пожалуйста разобраться с таким заданием.
При каких значениях параметра $a$ следующая система уравнений имеет единственное решение:

$$\begin{cases}ax^{2}+a-1=y-|\sin{x}|\\\tg^{2}{x}+y^{2}=1\\\end{cases}$$

Из второго уравнения: $y=\pm \sqrt{1-tg^{2}{x}}^{ *}$ . Решение должно быть единственным, поэтому очевидно что и $y$ должен быть единственным, а из $*$ это равносильно тому, что $y=0 \Rightarrow tg{x}=\pm 1$
В итоге у меня получается какое-то противоречие.
Помогите. Как на самом деле нужно решать эту задачу.

[nnosipov]

Omega в сообщении #700569 писал(а):

Из второго уравнения: $y=\pm \sqrt{1-tg^{2}{x}}^{ *}$ . Решение должно быть единственным, поэтому очевидно что и $y$ должен быть единственным, а из $*$ это равносильно тому, что $y=0 \Rightarrow tg{x}=\pm 1$

Это рассуждение ошибочно. Найдите ошибку.

[Omega]

nnosipov, $y$ не обязательно должен быть равен $0$ .
Ну а тогда как должно быть по-другому?

[nnosipov]

Omega в сообщении #700573 писал(а):

nnosipov, $y$ не обязательно должен быть равен $0$ .

Да, это не было доказано. И неверно к тому же.

Обратите внимание на $x$.

[Omega]

А что не так с $x$? Ничего толкового, выражая его, получить у меня не получается.

[nnosipov]

С иксом всё нормально. Подумайте о том, каким может быть $x$, если решение системы единственно.

[Omega]

Я, к сожалению, ни к каким логическим заключениям прийти пока не могу. Натолкните, пожалуйста.
График второго уравнения это множество одинаковых, похожих на окружности, фигур, а первого - две ветви параболы.
Также, по-моему, чтобы избавиться от тригонометрических функций можно сделать и так:

$$|\sin{x}|=\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{\tg^{2}{x}}}} \Rightarrow ax^2+a-1=y-\sqrt{\dfrac{1-y^{2}}{2-y^{2}}}$$

[nnosipov]

Не надо графики. Представим себе, что $(x_0,y_0)$ --- некоторое фиксированное решение данной системы. Тогда какое решение ещё будет у системы? (Предполагается это второе решение как-то сконструировать из имеющегося решения $(x_0,y_0)$. Посмотрите на уравнения системы и догадайтесь.)

[Omega]

$(-x_{0},y_{0})$ - второе решение, я правильно полагаю?

[nnosipov]

Правильно. Какой вывод теперь можно сделать?

[Omega]

Очевидно, то, что $x_{0}=-x_{0} \Rightarrow x_{0}=0 \Rightarrow \begin{cases}a-1=y\\y^2=1\\\end{cases}$ ?

[nnosipov]

Да, верно. Осталось завершить решение задачи.

[Omega]

$$\begin{cases}a-1=y\\y^2=1\\\end{cases} \Rightarrow y^{2}+y-a=0 \Rightarrow a=-\dfrac{1}{4}$$

Верно?

[nnosipov]

И какой же ответ? Почему?

-- Вс мар 24, 2013 12:04:25 --

Omega в сообщении #700590 писал(а):

$$\begin{cases}a-1=y\\y^2=1\\\end{cases} \Rightarrow y^{2}+y-a=0 \Rightarrow a=-\dfrac{1}{4}$$

Верно?

Нет, конечно. Это какая-то ерунда.

[Omega]

Ну так из того, что $y^{2}=1 \Rightarrow y=\pm 1$ - два решения, а необходимо одно?
Или я чего-то просто не понимаю, объясните?
А так, получается, что $a=2$ либо $a=0$