Помогите найти предел в степенном ряде

[Trurlol]

Есть ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (\frac{2n - 1}{3n+2})^n (x+2)^n $, далее мне необходимо найти радиус сходимости. Я рассматриваю отношение $| \frac{a_n}{a_{n+1}} |$ и прихожу к такому пределу $R = \lim\limits_{n\to \infty} | \frac{(3n+5)^{n+1}(2n-1)^n}{(2n+1)^{n+1}(3n+2)^n} |$, не могу понять как его упростить что бы найти предел, можете подсказать в каком направлении двигаться?

[ИСН]

Сворачивается в два е-образных предела.

[gris]

А чего Даламбером-то? Тут же Коши напрашивается

[Trurlol]

Да, действительно Коши помог, даже не знаю почему я его сразу не взял. Нашел наконец то таки область сходимости этого ряда, если вас не затруднит проверьте пожалуйста правильно ли я все сделал.

1. Радиус сходимости $R = \lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{(\frac{2n - 1}{3n + 2})^n}} = \lim\limits_{n\to \infty} \frac {3n + 2}{2n - 1} = \frac {3}{2}$

2. Интервал сходимости $x_0 = -2; (-\frac{7}{2}; -\frac{1}{2})$

3. Исследование граничных точек

$q = \lim\limits_{n\to \infty}{\sqrt[n]{(\frac{2n - 1}{3n + 2})^n(-\frac{7}{2}+2)^n}} = -1 < 0$ ряд сходится

$q = \lim\limits_{n\to \infty}{\sqrt[n]{(\frac{2n - 1}{3n + 2})^n(-\frac{1}{2}+2)^n}} = 1 > 0$ ряд расходится

Область сходимости $[-\frac{7}{2}; -\frac{1}{2})$

[gris]

А чего это он сходится крайней левой точке?
И как это странно посчитан в ней предел?

[Trurlol]

gris в сообщении #700397 писал(а):

А чего это он сходится крайней левой точке?
И как это странно посчитан в ней предел?

Спасибо, допустил ошибку с степенями. Вот что получается

$q = \lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{(-\frac {3}{2} \frac{2n - 1}{2n + 1})^{2n}} = \lim\limits_{n\to \infty} \frac {9}{4} (\frac{2n - 1}{2n + 1})^2 = \frac{9}{4}$ Странно, в лекциях одни условия сходимости записаны, а у Смирнова в книге абсолютно другие, наверно я допустил ошибку когда записывал. И того $q > 1$, ряд расходится. Соответственно и правый тоже. Верно?

[ИСН]

Кто такой этот q, что Вы делаете, и зачем?

[gris]

Для определения сходимости в крайних точках лучше напрямую рассматривать получающиеся после подстановки числовые ряды. Часто в них даже необходимый признак не выполняется. А иногда один из рядов расходится, а другой сходится как знакочередующийся с условиями Лейбница.

В Вашем третьем пункте Вы вполне корректно применили признак Коши для числового ряда, но забыли про модуль. И первый предел в том виде, в котором предел записан (безотносительно его смысла), посчитан неверно. Его просто не существует.

"Кю" в Вашем последнем сообщении, наверное, тоже имеет какой-то смысл и даже можно как-то увязать его с Даламбером и Коши. Но я никогда таким признаком не пользовался.

[Trurlol]

Исправил ошибки, левый предел получился -1 и следовательно по признаку Коши он сходится. А вот правый равен 1, а значит нужно использовать другой признак. Даламбера - хардкор, может быть признак сравнения, только с чем сравнивать?
Ах, да вот этот ряд $\sum^{\infty}_{n=1} (\frac {3}{2} \frac{2n - 1}{3n+2})^n$

[bot]

Trurlol в сообщении #701311 писал(а):

Исправил ошибки, левый предел получился -1 и следовательно по признаку Коши он сходится

Вам уже говорили, что это ерунда.

[Trurlol]

bot в сообщении #701316 писал(а):

Trurlol в сообщении #701311 писал(а):

Исправил ошибки, левый предел получился -1 и следовательно по признаку Коши он сходится

Вам уже говорили, что это ерунда.

Хорошо, распишу подробно.

$\sum^{\infty}_{n=1} (\frac{2n - 1}{3n + 2})^n (-\frac{3}{2})^n = (\frac{3}{2} \frac{1 - 2n}{3n + 2})^n$. Теперь по признаку Коши $q = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}$. При $q < 1$ ряд расходится.

$q = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{(\frac{3}{2} \frac{1 - 2n}{3n + 2})^n} = \lim\limits_{n \to \infty} (\frac{3}{2} \frac{1 - 2n}{3n + 2}) = \lim\limits_{n \to \infty} (\frac{3}{2} \frac{-2}{3}) = - 1; q < 1$ ряд расходится. В чем же ерунда?

Правый сейчас пробую организовать во второй замечательный предел

[ИСН]

Ваше применение признака Коши подобно уборке снега в лесу ломом. Причин у этого две, я пока опишу одну. Вот смотрите, например: ряд $1-1+1-1+1-1+... = \sum(-1)^n$. Как у него со сходимостью по этому самому признаку? Чему равен предел? Э?

[Trurlol]

ИСН в сообщении #701343 писал(а):

Ваше применение признака Коши подобно уборке снега в лесу ломом. Причин у этого две, я пока опишу одну. Вот смотрите, например: ряд $1-1+1-1+1-1+... = \sum(-1)^n$. Как у него со сходимостью по этому самому признаку? Чему равен предел? Э?

-1, хотя наделе этот ряд не сходится. Как же найти этот предел? Можно рассмотреть его как второй замечательный предел, что я собственно и сделал с правой границей и получил $exp(-\frac{7}{6})$, то есть по необходимому признаку он расходится. И еще два вопроса: правильно ли я нашел интервал сходимости? И как следует применять признак Коши?

upd Аааа, кажется я понял к чему вы клоните. Там же условие в радикальном признаке Коши "если существует", а ведь -1 не существует, т.е. этот признак не подходит?

[ИСН]

Интервал - правильно. А что касается признака Коши, то вот мы и подобрались ко второй причине. Допустим, есть какой-то очень страшный ряд (с логарифмами, с рогами, с арктангенсами и клыками, даже писать его не буду), который какие-то храбрые рыцари сумели укротить и нашли предел: $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}={1\over2}$. Хорошо. Теперь мы хотим приложить признак Коши к ряду $\sum 2^na_n$. У него какой будет q?

[Trurlol]

ИСН в сообщении #701366 писал(а):

Интервал - правильно. А что касается признака Коши, то вот мы и подобрались ко второй причине. Допустим, есть какой-то очень страшный ряд (с логарифмами, с рогами, с арктангенсами и клыками, даже писать его не буду), который какие-то храбрые рыцари сумели укротить и нашли предел: $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}={1\over2}$. Хорошо. Теперь мы хотим приложить признак Коши к ряду $\sum 2^na_n$. У него какой будет q?

$2\sqrt[n]{a_n}$