Степень роста подгруппы конечного индекса

[Draggi]

Здравствуйте, пытаюсь разобраться в понятиях степени роста группы. Во многих книгах принят за очевидный факт о том, что подгруппа конечного индекса растет также как и сама группа(при стандартной эквивалентности), однако я совершенно никак не могу этого доказать. Может ли мне кто-то в этом помочь?

[xmaister]

Draggi в сообщении #699010 писал(а):

степени роста группы.

А что это?

[Draggi]

http://www.mathnet.ru/links/17eae584da5 ... im1503.pdf
Определения можно найти в начале этой статьи.

[Stan Slapenarski]

Draggi

Цитата:

подгруппа конечного индекса растет также как и сама группа(при стандартной эквивалентности), однако я совершенно никак не могу этого доказать. Может ли мне кто-то в этом помочь?

Мне кажется, что доказать это можно следующим образом. Во-первых, ясно, что степень роста подгруппы не превышает степени роста группы. Докажем обратное неравенство. Каждая подгруппа конечного индекса содержит нормальную подгруппу конечного индекса (Серж Ленг, «Алгебра», задача I.12). Поэтому достаточно рассмотреть случай нормальной подгруппы. Более того, можно считать, что группа $G$ порождена объединением своей нормальной подгруппы $H$ и одного элемента $a\in G$. Поскольку группа $G/H$ – конечна, то существует такое число $n_0>0$, что $a^{n_0}\in H$. Пусть $H_0$ – произвольная симметричная система порождающих элементов группы $H$. Тогда $H_0\cup \{a, a^{-1}\}$ – система порождающих элементов группы $G$. Поскольку подгруппа $H$ нормальна в $G$, то существует такое число $m_0>0$, что $\{a^{n_0}, a^{-n_0}\}\cup\bigcup_{i=-n_0+1}^{n_0-1} a^iH_0a^{-i} \subset H_0^{m_0}$.

Пусть теперь $n$ – произвольное натуральное число, и $w$ – произвольное слово длины $n$, составленное из элементов $H_0\cup \{a, a^{-1}\}$. Будем последовательно сдвигать входящие в это слово элементы $a$ и $a^{-1}$, слева направо, следующим образом. Берем самое левое вхождение и сдвигаем его направо до встречи со следующим вхождением, при этом заменяя проходимые элементы из $H_0$ на спряженные сдвигаемым элементом. Затем аналогично сдвигаем дальше одновременно уже произведение этих двух вхождений до встречи с третьим и т.д. При этом, когда на каком-то этапе мы получаем вхождение $a^{\pm n_0}$, то мы заменяем его на cответствующий элемент из $H$ и продолжаем сдвигать уже следующие вхождения элементов $a$ или $a^{-1}$. В конечном итоге мы получим слово $h_1\dots h_ka^l$, где $k\le n$, $l\le n_0$ и каждая из букв $h_j$ либо совпадает с $a^{n_0}$ или $a^{-n_0}$, либо получена из элемента из $H_0$ сопряжением элементом $a^i$, где $|i|<n_0$. Таким образом, мы получаем, что $(H_0\cup \{a, a^{-1}\})^n\subset (H_0^{m_0})^n\{a^l:|l|\le n_0\}$.

[Stan Slapenarski]

Похоже, у меня выше прокол – группа, порожденная $H$ и $a$ уже может не быть нормальной, поэтому шаг индукции не проходит, и, видимо, вместо одного элемента $a$ нужно рассматривать сразу всё конечное симметричное множество $A$ дополнительных порождающих. Тогда можно попробовать исправить соответствующий фрагмент доказательства так.

Поскольку группа $G/H$ – конечна, то существует такое число $n_0>0$, что для любого слова $v$ длины $n_0$ из элементов $A$ существует слово $g_v$ из элементов $A$, но меньшей длины и элемент $h_v\in H$, такие, что $v=h_vg_v. Положим $A_1=\{v$ – слово длины меньше $n_0$ из элементов $A\}$. Пусть $H_0$ – произвольная симметричная система порождающих элементов группы $H$. Тогда существует такое число $m_0>0$, что $\{h_v: v$ – слово длины $n_0$ из элементов $A \}\cup \{ v^{-1}hv: h\in H_0, v\in A_1\}\subset H_0^{m_0}.$

$H_0\cup A$ – система порождающих элементов группы $G$. Пусть теперь $n$ – произвольное натуральное число, и $w$ – произвольное слово длины $n$, составленное из элементов $H_0\cup A$. Будем последовательно сдвигать входящие в это слово элементы из $A$, слева направо, следующим образом. Берем самое левое вхождение и сдвигаем его направо до встречи со следующим вхождением, при этом заменяя проходимые элементы из $H_0$ на спряженные сдвигаемым элементом. Затем аналогично сдвигаем дальше одновременно уже произведение этих двух вхождений до встречи с третьим и т.д. При этом, когда на каком-то этапе мы получаем вхождение $v$ длины $n_0$ из элементов $A$, то мы заменяем его на $h_vg_v$, далее сдвигаем уже $g_v$. В конечном итоге мы получим слово $h_1\dots h_kg$, где $k\le n$, $g\in A_1 и каждый из элементов $h_j$ получен из элемента из $H_0$ сопряжением словом элементом из $A_1$ либо равен вид $h_v$ для некоторого слова длины $n_0$ из элементов $A$. Таким образом, мы получаем, что $(H_0\cup A)^n\subset (H_0^{m_0})^nA_1$.