Меняются ли импульс и энергия при РТ-преобразовании?

[Finkel]

Вот такой вопрос. Утверждается, что, поскольку 3-импульс и энергия составляют компоненты 4-вектора, то при PT-преобразовании (инверсии всех пространственных координат и обращении времени), которое представляет собой поворот в 4-мерном пространстве Минковского, эти компоненты должны изменить знак. То есть компоненты 3-импульса и энергии меняют знак. (Поэтому получается отрицательная энергия, а чтобы этого не было, вводится ещё C-преобразование, и так получается СРТ-симметрия...)

Цитата:

Согласно теории относительности, энергия и импульс частицы составляют вместе так называемый 4-вектор , который при преобразованиях в пространстве Минковского преобразуется точно так же, как временная и пространственные координаты частиц (ct, x, y, z). Это означает, что при (PT )-преобразовании импульс и энергия частицы должны менять свой знак, то есть законы природы, согласно теории относительности, должны быть симметричны относительно частиц с положительными и отрицательными энергиями.

Но как это можно увидеть в трёхмерии? На рисунке я для примера рассмотрел обычный 3-мерный импульс в 3-мерном пространстве. Можно сперва произвести Р-преобразование (верхний путь). Тогда вектор останется тем же, но оси поменяют знак, и проекции вектора поменяют знак. А затем произвести Т-преобразование, которое сводится к изменению направления импульса, поскольку скорость изменится на противоположную. И получается, что после РТ-преобразования компоненты импульса знак не поменяли, всё осталось таким же.
Можно сделать в обратном порядке (нижний путь), и всё равно проекции импульса сохранят знак.

Собственно, это видно и из формул. При $\overrightarrow r\rightarrow-\overrightarrow r$, $t\rightarrow-t скорость не меняется: $\overrightarrow v=\frac{d\overrightarrow r}{dt}\rightarrow \frac{-d\overrightarrow r}{-dt}=\frac{d\overrightarrow r}{dt}=\overrightarrow v$. Скорость не меняет знак, следовательно, и импульс не меняет.

Правда, в другом справочнике именно это и написано...

Цитата:

...вследствие того, что импульс не меняется при одновременном обращении времени и инверсии координат...

С какой стати энергия должна изменить знак – вообще непонятно.

Разъясните, пожалуйста. Спасибо.

[Munin]

Начните рисовать не оси $x,y,z,$ а оси, например, $x,y,t$ (отвлекаясь от $z$), или даже просто $x,t$ - и очень быстро со всем разберётесь.

[Finkel]

Тогда ещё более странно получается. Импульс – пространственная координата 4-импульса, а энергия – временная. Тогда, если я совершу только обращение времени, оставив пространственные оси неизменными, то импульс не изменится. В то время как на самом деле очевидно, что импульс должен изменить направление на противоположное.

[lucien]

Finkel в сообщении #699381 писал(а):

Это означает, что при (PT )-преобразовании импульс и энергия частицы должны менять свой знак

Странное заявление. Преобразование обращения времени именно так и вводится, чтобы не менять знака энергии. Именно поэтому в КМ добавляется еще комплексное сопряжение.

[Munin]

Finkel в сообщении #699891 писал(а):

Импульс – пространственная координата 4-импульса, а энергия – временная. Тогда, если я совершу только обращение времени, оставив пространственные оси неизменными, то импульс не изменится. В то время как на самом деле очевидно, что импульс должен изменить направление на противоположное.

Почему это "очевидно"?

[lucien]

Неизменность энергии при обращении времени следует и из таких соображений. Фаза плоской волны $e^{ip^\mu x_\mu}$ не должна меняться при $P$ и $T$ преобразованиях. Поскольку $Te^{ip^\mu x_\mu}=e^{-i(Tp^\mu)(Tx_\mu)}$, то $Tp^0=p^0$. В противном случае все плохо.

[Finkel]

lucien в сообщении #699905 писал(а):

Finkel в сообщении #699381 писал(а):

Это означает, что при (PT )-преобразовании импульс и энергия частицы должны менять свой знак

Странное заявление. Преобразование обращения времени именно так и вводится, чтобы не менять знака энергии. Именно поэтому в КМ добавляется еще комплексное сопряжение.

Это, например, здесь сказано. Ну и не только.

Munin в сообщении #699910 писал(а):

Finkel в сообщении #699891 писал(а):

Импульс – пространственная координата 4-импульса, а энергия – временная. Тогда, если я совершу только обращение времени, оставив пространственные оси неизменными, то импульс не изменится. В то время как на самом деле очевидно, что импульс должен изменить направление на противоположное.

Почему это "очевидно"?

Ну хотя бы потому что при обращении времени скорости меняют направление на противоположное, а вместе с ними и импульс. Это видно и из формул. При $t\to -t$:
$\overrightarrow v=\frac{d\overrightarrow r}{dt}\to \frac{d\overrightarrow r}{-dt}=-\overrightarrow v$.

[lucien]

Finkel в сообщении #699940 писал(а):

Это, например, здесь сказано. Ну и не только.

Да просто автор глупость написал. А про "и не только" -- голословное утверждение. Приведите хотя бы один авторитетный источник.

[Finkel]

lucien в сообщении #699945 писал(а):

Finkel в сообщении #699940 писал(а):

Это, например, здесь сказано. Ну и не только.

Да просто автор глупость написал. А про "и не только" -- голословное утверждение. Приведите хотя бы один авторитетный источник.

Почему же глупость? Это видно и из определения 4-импульса как производной по координате от действия:
$p_i=-\frac{\partial S}{\partial x^i}$.
Отсюда хорошо видно, что при обращении координаты соответствующая компонента меняет знак. В том числе, и временная компонента, т.е. энергия, меняет знак при инверсии времени.

-- 22.03.2013, 19:32 --

lucien в сообщении #699945 писал(а):

Finkel в сообщении #699940 писал(а):

Это, например, здесь сказано. Ну и не только.

Да просто автор глупость написал. А про "и не только" -- голословное утверждение. Приведите хотя бы один авторитетный источник.

А что, доктор физ.-мат. наук, профессор МФТИ, главный научный сотрудник Института физики высоких энергий, член-корреспондент РАН - это не авторитетный источник?
http://bookre.org/reader?file=818077

[lucien]

Finkel в сообщении #699947 писал(а):

Почему же глупость? Это видно и из определения 4-импульса как производной по координате от действия:
$p_i=-\frac{\partial S}{\partial x^i}$.

Только учтите, что действие при обращении времени изменяет знак: $S=\int\mathcal{L}dtdV$. Инвариантом является плотность лагранжиана $\mathcal{L}$. И тогда все становится на свои места.

[Finkel]

lucien в сообщении #699953 писал(а):

Finkel в сообщении #699947 писал(а):

Почему же глупость? Это видно и из определения 4-импульса как производной по координате от действия:
$p_i=-\frac{\partial S}{\partial x^i}$.

Только учтите, что действие при обращении времени изменяет знак: $S=\int\mathcal{L}dtdV$. Инвариантом является плотность лагранжиана $\mathcal{L}$. И тогда все становится на свои места.

Разве действие может менять знак? Это же истинный скаляр. Например, для свободной частицы действие имеет вид:
$S=-mc\int\limits_1^2ds.$
Интервал не меняется при обращении времени (хотя бы потому что туда dt входит в квадрате).

-- 22.03.2013, 19:56 --

Хотя... при обращении времени меняется порядок интегрирования: не $1\to 2$, а $2\to 1$... И тогда знак действительно изменится...

[lucien]

$ds$ -- это элемент собственного времени. Поэтому интеграл меняет знак.

[Finkel]

Тогда получается, что действие – это не скаляр, а псевдоскаляр что ли?

[lucien]

"Псевдо" -- относится лишь к пространственной инверсии. При обращении времени скаляры могут изменяться по разному. Например $p_\mu p^\mu$ -- не меняется, а $j_\mu x^\mu$ меняет знак.

[Finkel]

Но ведь в ТО пространственные и временные координаты равноправны...