Уравнение x^3+y^3+1=3xy в целых числах

[Ktina]

Решить уравнение

$$x^3+y^3+1=3xy$$

в целых числах.

[hippie]

Ответ: или $x=y=1$ или $y=-x-1.$
(И неважно, в целых числах или в действительных. )

[Ktina]

hippie,
А почему неважно?

[arqady]

Есть такая формула сокращённого умножения:
$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$.

[Ktina]

arqady,
Это не доказательство единственности семейства решений.

[nnosipov]

Ktina, не придирайтесь, уравнение совершенно беззубое.

[TR63]

Уравнение можно рассматривать как кубическое относительно одной переменной. Тогда целые корни будут среди делителей свободного члена.

-- 22.03.2013, 16:48 --

Если обе переменные положительны, то решение единственно.

-- 22.03.2013, 16:50 --

На основании свойства о среднем арифметическом.

[nnosipov]

Сделаем задачку немного поинтересней: найти бесконечно много натуральных $a$, для каждого из которых уравнение

$$x^3+y^3+1=axy$$

имеет решения в натуральных числах $x$ и $y$.

[Null]

nnosipov в сообщении #699909 писал(а):

Сделаем задачку немного поинтересней: найти бесконечно много натуральных $a$, для каждого из которых уравнение

$$x^3+y^3+1=axy$$

имеет решения в натуральных числах $x$ и $y$.

Если $x^3+y^3+1\vdots xy$, то $z^3+x^3+1\vdots zx$, где $z=\frac{x^3+1}{y}$

[nnosipov]

Да, я имел в виду именно это.