здесь не дописано, что последовательность сходится по равномерной метрике в пространстве
![$C[-2;2]$ $C[-2;2]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/8/4481c21ff9121d9a687e5b5dab24c08f82.png)
и поскольку предел единственен
Во, это главное волшебное слово.

то получаем, что
![$C^{(1)}[-2;2]$ $C^{(1)}[-2;2]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/2/fe2e9ede26ec16c725f2c63b097a0d2382.png)
не полно.
Сразу тогда вопрос : а как же тогда правильно доказывать неполноту?
Ну, коль главное слово заклинания Вы произнесли (единственность предела), я не сильно нарушу правила форума, произнеся остальные.
Итак, мы придумали некоторую последовательность

элементов некоторого метрического пространства

и показали, что она фундаментальна в

. Теперь (строго следуя определению неполноты) мы хотим доказать, что последовательность

не имеет предела в

. Для этого мы сначала замечаем, что

принадлежат не только

, но и некоторому другому метрическому пространству

, содержащему

в качестве подпространства, причем в этом

эти

имеют предел

и этот

не принадлежит

. Теперь мы уже готовы доказать, что

не имеет предела в

. Рассуждаем от противного. Допустим,

все же сходятся в

к какому-то

. Тогда

сходятся к

не только в

, но и в

. С другой стороны,

в

сходятся к

. В силу единственности предела в

заключаем, что

. Это противоречит тому, что

, а

.
Вот это и есть "стандартное заклинание". Оно тривиально и ни в одной статье или серьезной книге его не встретишь. Но каждый студент-математик должен хотя бы раз в жизни это заклинание произнести -- хотя бы для того, чтобы знать: да, я умею произносить такое заклинание, а значит, теперь с чистой совестью могу больше его не произносить, ибо если меня вдруг кто-то попросит его произнести, я это сделаю без труда.
