Полнота пространства

[cool.phenon]

Здравствуйте,уважаемые участники форума. Прошу проверить на логику и корректность.
Доказать,что пространство $C^{\left(1\right)} \left[-2;2\right]$ c метрикой $\rho\left(x,y\right)=\underset{t\in \left[ -2;2 \right]}{\mathop{\max }}\,\left|x(t)-y(t)\right|$ не является полным.
$\qedsymbol$ Рассмотрим последовательность функций ${{x}_{n}}\left( t \right)=\left\{ \begin{array}{rl} &{{t}^{\frac{n+1}{n}}},t\in \left[ 0;2 \right] \\ &{{\left( -t \right)}^{\frac{n+1}{n}}},t\in \left[ -2;0 \right) \\ \end{array} \right.$
Эта последовательность входит в $C^{\left(1\right)} \left[-2;2\right]$. Тогда ${{x}_{n}}'\left( t \right)=\left\{ \begin{array}{rl} & \frac{n+1}{n}{{t}^{\frac{1}{n}}},t\in [0;2]\\ &-\frac{n+1}{n}{{\left( -t \right)}^{\frac{1}{n}}},t\in [-2;0) \\ \end{array} \right.$
Несложно заметить, что предельной функцией является ${{x}_{0}}\left( t \right)=\left\{ \begin{array}{rl} &t,t\in \left[ 0;2 \right] \\ &-t,t\in \left[ -2;0 \right) \\ \end{array} \right.$
Также последовательность $x_{n}(t)$ фундаментальна, так как $\rho(x_{n+p};x_{n})=\underset{t\in \left[ -2;2 \right]}{\mathop{\max }}\,\left|t^{\frac{n+1}{n}}-t^{\frac{n+p}{n+p+1}}\right|=\underset{t\in \left[ -2;2 \right]}{\mathop{\max }}\,\left|t\left(t^{\frac{1}{n}}-t^{\frac{1}{n+p}}\right)\right| \to 0$.Здесь мы смотрим только на правую ветвь в силу симметрии.
Но предельная функция не принадлежит $C^{\left(1\right)} \left[-2;2\right]$, поэтому утверждение доказано.$\qed$

[мат-ламер]

Никто не отвечает, поскольку всем лень пробираться через дебри формул. Вы бы лучше на словах написали, что модуль приближается диф. функциями по равномерной метрике. Я с Вами согласен, но формулы не осилил.

[SpBTimes]

Как-то слишком тяжко. Любая непрерывная функция на отрезке - равномерный предел последовательности многочленов (которые всюду дифференцируемы) - теорема Вейерштрасса. Поэтому достаточно взять любую непрерывную, но кое-где недифференцируемую функцию. И такая функция будет примером

[Oleg Zubelevich]

$x_n(t)=\sqrt{t+2+1/n}$

[AGu]

cool.phenon в сообщении #698410 писал(а):

Но предельная функция не принадлежит $C^{\left(1\right)} \left[-2;2\right]$, поэтому утверждение доказано.$\qed$

Мимо. Подобного рода рассуждения могут быть лишь идеей или намеком, но не доказательством неполноты.

SpBTimes в сообщении #698565 писал(а):

И такая функция будет примером

Увы, то же самое. Годится лишь как наводка, но не как доказательство.

Для доказательства неполноты нужно привести пример последовательности (а не функции) в данном пространстве, которая фундаментальна (в данной метрике), но не имеет предела (в данном пространстве и в данной метрике, а не где заблагорассудится). Мало ли что какая-то там "предельная" функция имет какую-то там рваную производную? Формально это ничего не доказывает. Предельная она -- в каком пространстве и в какой метрике или топологии? Нам ведь надо доказать, что предела нет. А мы -- вроде даже наоборот -- утверждаем, что он якобы есть. Кривой, но есть. Мимо. Это не доказательство неполноты.

Рекомендую предположить, что рассмотренная последовательность имеет предел (в данном пространстве и в данной метрике), и честно получить противоречие. В поиске противоречия помогут те самые идеи и намеки -- с нехорошими "где-то там предельными" функциями.

[ewert]

AGu в сообщении #698958 писал(а):

Мимо. Это не доказательство неполноты.

На самом деле и то, и другое -- вполне себе доказательства. Недостаёт разве что шаблонного заклинания, совершенно не специфичного для именно этой задачи: что равномерный предел поточечно единственен.

[cool.phenon]

AGu
Спасибо за замечание. Но ведь я пользовался формально отрицанием определения : пространство называется полным относительно метрики, если каждая фундаментальная последовательность сходится по метрике к некоторому элементу, который принадлежит пространству. То есть, отрицание : существует хотя бы одна фундаментальная последовательность, которая по метрике не сходится или сходится к элементу, который не принадлежит пространству. Последовательность привели. Хотя, конечно, криво, но Oleg Zubelevich привёл подобный пример - более наглядный в данном случае.

[AGu]

cool.phenon в сообщении #699094 писал(а):

То есть, отрицание : существует хотя бы одна фундаментальная последовательность, которая по метрике не сходится или сходится к элементу, который не принадлежит пространству.

Вот эти Ваши слова -- "или сходится к элементу, который не принадлежит пространству" -- отсебятина. В отрицание утверждения о полноте эти слова не входят. Более того, эти слова даже формального смысла не имеют, ибо неполнота пространства -- это свойство пространства, в нем нет речи ни о каких "других" пространствах, и поэтому изначально бессмысленно говорить о каком-либо "элементе, не принадлежащем пространству". Чему тогда он принадлежит? Какому-то другому пространству. Какому? Далее, выбранная последовательность к нему как-то сходится. Как? По метрике (или топологии) в каком-то другом пространрстве? По какой метрике (или топологии)? И почему это доказывает неполноту. Короче, как справедливо заметил ewert, нужно "шаблонное заклинание". Так что Вы, пожалуйста, его все же произнесите.

[ewert]

AGu в сообщении #699141 писал(а):

Вот эти Ваши слова -- "или сходится к элементу, который не принадлежит пространству" -- отсебятина.

Ну а что поделать, если откровенно сходится ведь -- к некоторому элементу объемлющего пространства, притом общеизвестного?... Как-то нехорошо сей очевидный и напрашивающийся факт игнорировать. Я это к тому, что независимо от оформления -- эвристика была абсолютно правильной.

cool.phenon в сообщении #699094 писал(а):

более наглядный в данном случае.

Вашу конструкцию можно привести к ещё более наглядному виду, заменив все эти ифы на просто $\sqrt{x^2+\frac1n}$. Или чисто геометрически -- просто опустив мячик в уголок.

Наиболее же идейная реплика в этой ветке принадлежала всё-таки SpBTimes -- любая непрерывная функция, как известно, может быть равномерно сглажена. Правда, он там перестарался с Вейерштрассом: эта теорема всё-таки тяжеловата, достаточно просто сглаживания свёрткой. Ну неважно: сама идея геометрически очевидна, от неё и надо плясать. И не только в этой задачке, но и во многих подобных.

[cool.phenon]

AGu
Ну почему же, ведь пространство может быть некоторым подпространством. В частности, пространство $C^{(1)}[-2;2]$ вложено в $C[-2;2]$.
В общем, я понял, здесь не дописано, что последовательность сходится по равномерной метрике в пространстве $C[-2;2]$ и поскольку предел единственен, то получаем, что $C^{(1)}[-2;2]$ не полно.
Сразу тогда вопрос : а как же тогда правильно доказывать неполноту?

ewert

Спасибо за объяснения.

[AGu]

cool.phenon в сообщении #699405 писал(а):

здесь не дописано, что последовательность сходится по равномерной метрике в пространстве $C[-2;2]$ и поскольку предел единственен

Во, это главное волшебное слово.

cool.phenon в сообщении #699405 писал(а):

то получаем, что $C^{(1)}[-2;2]$ не полно.
Сразу тогда вопрос : а как же тогда правильно доказывать неполноту?

Ну, коль главное слово заклинания Вы произнесли (единственность предела), я не сильно нарушу правила форума, произнеся остальные.

Итак, мы придумали некоторую последовательность $(x_n)$ элементов некоторого метрического пространства $X$ и показали, что она фундаментальна в $X$. Теперь (строго следуя определению неполноты) мы хотим доказать, что последовательность $(x_n)$ не имеет предела в $X$. Для этого мы сначала замечаем, что $x_n$ принадлежат не только $X$, но и некоторому другому метрическому пространству $Y$, содержащему $X$ в качестве подпространства, причем в этом $Y$ эти $x_n$ имеют предел $y\in Y$ и этот $y$ не принадлежит $X$. Теперь мы уже готовы доказать, что $(x_n)$ не имеет предела в $X$. Рассуждаем от противного. Допустим, $x_n$ все же сходятся в $X$ к какому-то $x\in X$. Тогда $x_n$ сходятся к $x$ не только в $X$, но и в $Y$. С другой стороны, $x_n$ в $Y$ сходятся к $y$. В силу единственности предела в $Y$ заключаем, что $x=y$. Это противоречит тому, что $x\in X$, а $y\notin X$.

Вот это и есть "стандартное заклинание". Оно тривиально и ни в одной статье или серьезной книге его не встретишь. Но каждый студент-математик должен хотя бы раз в жизни это заклинание произнести -- хотя бы для того, чтобы знать: да, я умею произносить такое заклинание, а значит, теперь с чистой совестью могу больше его не произносить, ибо если меня вдруг кто-то попросит его произнести, я это сделаю без труда.

[Oleg Zubelevich]

в моем примере скажем достаточно заметить, что $x'_n(-2)\to\infty$