Задача по оптимизации (максимизировать периметр треугольника

[Excoder]

Здравствуйте! Есть такая задача: внутри прямого угла задана точка (каким образом и в каких координатах - не важно). Провести через эту точку прямую так, чтобы периметр полученного треугольника был минимальным. Понятно, что решение довольно легко найти, но проблема в том, что если задавать точку в декартовых или полярных координатах, то оно получается слишком громоздким, и из-за этого возникают проблемы с записью самого значения периметра. Возможно, если как-то иначе задать точку, то и решение запишется проще. В общем, интересует самый короткий и негромоздкий способ решения этой задачи. Заранее спасибо за Ваши ответы

[PAV]

Точку однозначно надо задавать декартовыми координатами, полярные тут ни к чему. А в качестве оптимизируемого параметра (который определяет собственно прямую) напрашивается рассмотреть либо длину одного из катетов получаемого прямоугольника (т.е. координату пересечения прямой с осью абсцисс, например), либо один из углов. Не возникает впечатления, что формулы получатся слишком сложными.

[faruk]

Excoder писал(а):

...внутри прямого угла задана точка... Провести через эту точку прямую так, чтобы периметр полученного прямоугольника был минимальным.

PAV писал(а):

...длину одного из катетов получаемого прямоугольника...

Чего-то я недопонимаю в геометрии. Прямоугольник - это четырёхугольник, параллелограмм, у которого все углы прямые. Так?

[Gordmit]

Проведя через точку внутри прямого угла всего одну прямую, невозможно получить прямоугольник.

[Excoder]

Простите пожалуйста! Естественно, там должно быть написано "треугольник". Я ошибся, когда писал.

[Gordmit]

Ну вот про прямоу[гольный треу]гольник PAV и говорил

[Excoder]

Такая задача была на 5-м курсе на ГОСах. Время ограничено, и никому не удалось ее довести до конца. Если делать в лоб, беря точку с коорд. (A,B), то, если проводимая прямая - это ax + b, то b выразится через a и координаты A,B, а значение "a" есть довольно громоздкий квадратный корень от выражения, зависящего от A/B. В общем, явно там есть какая-то фишка с записью заданной точки, чтоб в результате все просто и быстро получилось. Иначе за 10-15 минут правильно привести выражение с радикалами к полиному 6 степени и правильно его упростить - просто нереально.

[Lion]

Поправьте меня, если я ошибаюсь, но, по-моему, искомая прямая строится циркулем и линейкой, причем для произвольного угла: нужно вписать в угол окружность, проходящую через данную точку, а потом провести к ней касательную в этой точке. Касательная и будет искомой прямой.

[neo66]

Lion писал(а):

Поправьте меня, если я ошибаюсь, но, по-моему, искомая прямая строится циркулем и линейкой, причем для произвольного угла: нужно вписать в угол окружность, проходящую через данную точку, а потом провести к ней касательную в этой точке. Касательная и будет искомой прямой.

Большую из двух возможных окружностей. Классика жанра.

[Excoder]

Спасибо за совет, это интересно Интересно, где бы поподробнее прочитать Правда, если под вписанной понимается окружность, которая будет касаться всех сторон треугольника (т.е. две стороны угла), то, в общем такое построение не удастся выполнить. Если заданная точка не попадет в тот внутренний угол прямого угла, где касательная к окружности будет иметь отрицательный наклон, то треугольник просто не будет образован.

[незваный гость]

Понимается окружность, которая проходит через данную точку, и касается двух сторон угла. Тогда касательная к ней оказывается искомой, и она оказывается вписанной в получающийся треугольник.

[Lion]

Excoder писал(а):

Спасибо за совет, это интересно Интересно, где бы поподробнее прочитать Правда, если под вписанной понимается окружность, которая будет касаться всех сторон треугольника (т.е. две стороны угла), то, в общем такое построение не удастся выполнить. Если заданная точка не попадет в тот внутренний угол прямого угла, где касательная к окружности будет иметь отрицательный наклон, то треугольник просто не будет образован.

Эта задача несложно решается школьными методами, она наверняка есть, например, в задачнике Прасолова. И еще: по условию точка лежит внутри угла, так что окружность (и даже две), касающаяся сторон треугольника и проходящая через эту точку, существует всегда.

[незваный гость]

Любопытна, однако, $(1,2)$.