оптика. преломление на сферической поверхности.

[illuminates]

Запутался в выводе сей формулы. Во всех учебниках как то слишком наворочено дан вывод, в Сивухине отлично дан, но что то он с углами намудрил.
&10 преломление на сферической поверхности.
Непонятно почему у него при вычисление площади PAC треугольника используется угол

$$\varphi$$

далее не понятно почему для площади треугольника PAP' используется угол

$$(\varphi-\psi)$$

помогите пожалуйста

[ewert]

illuminates в сообщении #698746 писал(а):

Непонятно почему у него при вычисление площади PAC треугольника используется угол

$$\varphi$$

Какая разница -- брать синус от $\varphi$ или от $\pi-\varphi$?

illuminates в сообщении #698746 писал(а):

далее не понятно почему для площади треугольника PAP' используется угол

$$(\varphi-\psi)$$

Аналогично.

А вот зачем ему понадобилось вообще возиться с этими площадями -- действительно загадка.

[illuminates]

ewert
так вот я тоже так считал. но меня запутал угол PAP'.
$\sin(\pi-\varphi+\psi)=\sin(-\varphi+\psi)$
и я решил что здесь напутано с углами. может правда напутано?

-- 20.03.2013, 16:09 --

А вы посмотрите громоздкие выводы даже у Иродова. Или у Бутикова матричный метод. Через площади самый короткий

[ewert]

У Сивухина действительно знак в этом месте откровенно перепутан: очевидно же, что $\varphi>\psi$.

А спровоцирована эта путаница совершенно бессмысленной вознёй с тригонометрией. Поскольку все углы бесконечно малы, надо было просто в подходящий момент заменить все синусы на сами углы. Кроме того, не очень удачно выбрано начало координат: выгоднее взять за него не точку $O$, а проекцию точки $A$ на ось. Тогда весь вывод займёт две-три строчки.

[illuminates]

ewert
нет что то здесь не так. итоговая формула правильной у него получается. Где он повторно ошибается? просто я по честному поменял знак, вывел, но формула получается не правильной при этом.

[ewert]

illuminates в сообщении #698862 писал(а):

Где он повторно ошибается?

Ну не знаю -- я же не вижу всего вывода. Ясно только, что он ошибается чётное количество раз.

Надо же было выводить ту формулу (которую я, кстати, не знаю) примерно так. Пусть $d_1,\;d_2$ -- расстояния от источника и от изображения до проекции точки $A$ на горизонтальную ось и $\beta,\;\gamma$ -- острые углы с вершинами в точках $C$ и $P'$. Тогда внешние углы в соответствующих треугольниках $\varphi=\beta+\alpha$ и $\beta=\psi+\gamma$. С другой стороны, $d_1\tg\alpha=R\sin\beta=d_2\tg\gamma$, и если углы стремятся к нулю, то $\alpha\sim\beta\cdot\dfrac{R}{d_1}$ и $\gamma\sim\beta\cdot\dfrac{R}{d_2}$. Следовательно,

$$n=\dfrac{\sin\varphi}{\sin\psi}\sim\dfrac{\varphi}{\psi}=\dfrac{\beta+\alpha}{\beta-\gamma}\sim\dfrac{1+\frac{R}{d_1}}{1-\frac{R}{d_2}}\quad\Rightarrow\quad\dfrac{1}{d_1}+\dfrac{n}{d_2}\sim\dfrac{n-1}{R}.$$

[illuminates]

ewert
Понятно. Спасибо.

Но если вас не затруднит, то посмотрите как Сивухин продолжает выводить. Хочется понять где он повторно ошибается.

[ewert]

Ну там, скажем, во второй сверху выключной формуле штрихов слева явный избыток, и гадать, к чему он мог привести -- занятие бесполезное. И в самом конце в (10.2) слева какой-то совершенно ненужный минус.

Вы лучше сами тщательно перепишите формулу за формулой, ловя по пути всех блох. Если Вам не лень, конечно. Мне -- лень.

[illuminates]

Нас на экзамене требуют рассказывать чисто по Сивухину, шаг в сторону - расстрел. Я в том семестре учил не по Сивухину, на экзамене попалось - вывод волнового уравнения. Я вывел как знал, экзаменатору очень это не понравилось, ради пятёрки пошел на пересдачу. Сейчас история продолжается. При этом спросить у лектора что-то невозможно, ибо он декан, и ему совершенно некогда всегда.

Цитата:

И в самом конце в (10.2) слева какой-то совершенно ненужный минус.

Отчего же? Всё там правильно - просто и справа так же знак поменят.

[ewert]

illuminates в сообщении #699124 писал(а):

Всё там правильно - просто и справа так же знак поменят.

Я не знаю, что там "поменято", но просто положите для проверки $n=n'$ -- получите, что оба расстояния одинаковы. Хотя никакого собирания вообще не будет.

Разгильдяйство какое-то.

[illuminates]

ewert
В общем как вы и говорили - взял чистый лист выводил заново через площади - в итоге по непонятным причинам с правильным знаком, получается неправильный ответ. В Сивухине наооборот - из неправильного получается правильное. Достаточно посмотреть в вики на эту тему.

[illuminates]

В общем вопрос этот удалось решить на другом форуме. http://otlichnica.diary.ru/p186555840.htm

Оказалось что мы ошибались. У Сивухина все правильно

-- 29.03.2013, 12:54 --

Но я к сожалению так и не понял фишки с углами. Можите просветить