Бесконечное множество (проверьте, пожалуйста, моё решение)

[Ktina]

Существует ли бесконечное множество натуральных чисел, в котором любые два числа взаимно просты, а сумма любых двух или более (но конечного количества) чисел – составное число?

Я думаю, что да. Построим бесконечную последовательность:

$$a_0=1,\quad a_n=((\sum_{i=0}^{n-1}a_i)+1)!+1$$

Каждый следующий элемент этой последовательности будет взаимопрост с каждым из предыдущих, так как будет давать остаток 1 при делении на каждое из предыдущих. А сумма любых $1<n<\infty$ элементов будет составной, так как за достаточно большим факториалом, увеличенным на единичку, следует достаточно много составных чисел подряд.

Это точно правильное решение?

[Ktina]

Ktina в сообщении #698550 писал(а):

...а сумма любых двух или более (но конечного количества) чисел – составное число?...

Если под "любых" понимать, что один и тот же элемент множества может входить в сумму более одного раза, то ответ на задачу, по-моему, будет вообще отрицательным. Действительно, все числа попарно взаимопросты. Возьмём два числа $m$ и $n$ и рассмотрим все числа вида $m+kn$, где $k\in\mathbb N$. Тогда (мне так кажется) среди них обязано найтись простое.

[ИСН]

s/мне так кажется/по теореме Дирихле/

[Ktina]

ИСН,
Но если "любых" понимать как "любых попарно различных", то моё решение верно?

[ИСН]

По-моему, да.

[Ktina]

А если множество конечно (но сколь угодно большое)?
Тогда можно сделать так, чтобы было именно любых?

Я думаю, что да.

Перемножим первые 2013 нечётных чисел и получим число $k$.
Затем построим последовательность:

$$a_0=k,\quad a_n=a_{n-1}^2-2$$

Теперь отбросим первые два члена ($a_0\quad\text{и}\quad a_{1}$) и все члены, номера которых больше 2015.
Разве мы не получим множество из 2013 чисел, обладающее требуемым в задаче свойством?

-- 20.03.2013, 12:42 --

Пардон! Опять теорема Дирихле всё портит.
Короче, я раскрываю карты. Мне нужен ответ вот на эту задачу (лига 11А, задача №6): http://olympiads.mccme.ru/matboi/usl_pf_06.htm

-- 20.03.2013, 12:50 --

Короче, я думаю так.

Задачу можно понять двояко.

1) Если под "любых" понимать "любых вообще", то ответ будет отрицательным, даже если в нашем множестве только два числа.

2) Если под "любых" понимать сумму элементов любого конечного непустого подмножества, в котором более одного элемента, то я решила даже более сильную задачу -- построила бесконечное множество с данным свойством.

Я права?