ММО-2012

[Terraniux]

Решал недавно задачи этой олимпиады.
Второй день: http://olympiads.mccme.ru/mmo/2013/11-2den2.pdf

У меня получились такие ответы

(Оффтоп)

2. $\sqrt2$. 4. может быть: http://s019.radikal.ru/i629/1303/c7/1bb18c19f95c.png

А третью не решил. И пятую(

[hippie]

#1.
Ответ: или {1, 1, 1} или {1, 2, 2}.

Достаточно рассмотреть 2 случая:
1) первый пират выбирает 2 самых тяжёлых слитка;
2) Первый пират выбирает самый тяжёлый и самый лёгкий слитки.

#2.
Ответ: $e^{\frac 1e}$.

И при $x\to 0$ и при $x\to \infty$ левая часть выражения больше правой. Поэтому корень будет единственным только в том случае, если графики касаются. Следовательно, в этой точке совпадают значения не только функций, но и их производных (и, вследствие симметрии графиков, производные равны 1). Отсюда сразу получается $\ln x=\frac 1{\ln a}=1.$

#3.
Ответ: меньше левая часть.

Один раз заметите в левой части $n^3$ на $n^3-1,$ второй раз — на $(n-1)^3-1.$ Каждое из получившихся выражений будет больше исходного. Следовательно, их произведение — больше квадрата исходного.
Сократив это произведение получим $\frac 3{1\cdot 2}\cdot \frac {2013\cdot 2014}{2013^2+2013+1}<\frac 32.$

[Terraniux]

hippie в сообщении #697992 писал(а):

#1.
Ответ: или {1, 1, 1} или {1, 2, 2}.

Достаточно рассмотреть 2 случая:
1) первый пират выбирает 2 самых тяжёлых слитка;
2) Первый пират выбирает самый тяжёлый и самый лёгкий слитки.

#2.
Ответ: $e^{\frac 1e}$.

И при $x\to 0$ и при $x\to \infty$ левая часть выражения больше правой. Поэтому корень будет единственным только в том случае, если графики касаются. Следовательно, в этой точке совпадают значения не только функций, но и их производных (и, вследствие симметрии графиков, производные равны 1). Отсюда сразу получается $\ln x=\frac 1{\ln a}=1.$

#3.
Ответ: меньше левая часть.

Один раз заметите в левой части $n^3$ на $n^3-1,$ второй раз — на $(n-1)^3-1.$ Каждое из получившихся выражений будет больше исходного. Следовательно, их произведение — больше квадрата исходного.
Сократив это произведение получим $\frac 3{1\cdot 2}\cdot \frac {2013\cdot 2014}{2013^2+2013+1}<\frac 32.$

1-ю решал точно так же как и Вы, разбором случаев, но получились еще случаи $\{3,2,2\},\{3,3,3\}$.
Во 2-й подходит любое число вида $t^{\frac{1}{t}}$. Проверка легко это показывает, решение через графики (они будут касаться на иксе).
В пятой ощущение, что пункт а) должен легко проверяться, но точнее не могу сказать.
В 4-й получился тоже тетраэдр, но не равногранный. А со вполне себе разными гранями. Могло ли сойти такое решение? Я ведь решал дома, для удовольствия.

[hippie]

В первой действительно подходит ещё {3, 3, 3}, но не {3, 2, 2} (во втором случае первый пират берёт 3+1).
При рассмотрении двух случаев, которые я указал вначале, получается, что либо 4 слитка имеют равную массу, а пятый вдвое тяжелее; либо 3 слитка имеют равную массу и такую же массу дают в сумме 2 оставшихся слитка.

Во второй числа $t^ {\frac 1t},$ при $t\ne e$ не подходят, т.к. графики будут не касаться, а пересекаться, и, значит, корень не единственный. (Например при $a=\sqrt 2$ корнями будут и 2 и 4.)

(Про четвёртую не стал писать, т.к. у Вас в исходном посте приводится правильное решение. А пятую ещё не смотрел.)

[Terraniux]

hippie в сообщении #698027 писал(а):

В первой действительно подходит ещё {3, 3, 3}, но не {3, 2, 2} (во втором случае первый пират берёт 3+1).
При рассмотрении двух случаев, которые я указал вначале, получается, что либо 4 слитка имеют равную массу, а пятый вдвое тяжелее; либо 3 слитка имеют равную массу и такую же массу дают в сумме 2 оставшихся слитка.

Во второй числа $t^ {\frac 1t},$ при $t\ne e$ не подходят, т.к. графики будут не касаться, а пересекаться, и, значит, корень не единственный. (Например при $a=\sqrt 2$ корнями будут и 2 и 4.)

(Про четвёртую не стал писать, т.к. у Вас в исходном посте приводится правильное решение. А пятую ещё не смотрел.)

Недосмотрел, однако. Но решал через графики - они полюбэ будут касаться на линии $y=x$. А при $t^{\frac{1}{t}}$. Будет точно 2 корня, один из них $t$, второй удовлетворяет условию $t^x=x^t$ (для $a=t^{\frac 1t}$. Задача оказалось немного сложнее.

[hippie]

Только что обнаружил очепятку: в конце решения #2 я пропустил $x.$

Вместо $\ln x=\frac 1{\ln a}=1$ должно быть $\ln x=\frac 1{x\ln a}=1.$

[Terraniux]

Ну да, заметил уже что они должны касаться (пересекаться) на $x$ и подумал, что все. Но надо было еще немного подумать.