Хартри-Фок. Киттель.

[r0ma]

Здравствуйте. Разбираю приближение Хартри-Фока в методе вторичного квантования. Непонятный момент.

Я получил, что стоит до выделенного знака равенства. Что Киттель сделал дальше я понять не могу. Откуда осталось лишь одно слагаемое без 1/2 и причём у потенциальной энергии $V$ изменён в аргументах знак с $\mathbf x - \mathbf y$ на $\mathbf y - \mathbf x$? Это учебник Киттеля, 1967г, 5 глава. Помогите разобраться.
Намечается ещё один вопрос. Но пока его отложу. Может если пойму это, то 2ой отпадёт автоматом.

[Munin]

Может, просто подынтегральную переменную переобозначил?

[r0ma]

Munin в сообщении #697272 писал(а):

Может, просто подынтегральную переменную переобозначил?

Ну я как бы думал об этом... Первое, что в голову пришло. Но ведь $\mathbf x'$ от $\mathbf y$ не зависит. $V\,-\,$ это потенциальная энергия взаимодействия двух частиц (причём конкретный вид не уточнён - не обязательно кулон). Одна частица находится в $\mathbf x'$, другая $\, - \,$ в $\mathbf y$. На этом основании я сделал вывод, что $\mathbf x'$ не может зависет от $\mathbf y$ и тогда (как я понимаю) замена $\mathbf x'=\mathbf y$ теряет всякий смысл, просто потому, что это значит, что две частицы находятся в одном положении (в пространстве). Но про локальность/нелокальность тоже не сказано ничего. Да и в общем случае, как я понимаю, $V(\mathbf x-\mathbf y)\neq V (\mathbf y-\mathbf x)$. Хотя если честно, в последнем я сомневаюсь. Кулону-то, конечно, без разницы, что там за разность стоит. А про другие взаимодействия я что-то ничего не знаю...

[Munin]

r0ma в сообщении #697296 писал(а):

Но ведь $\mathbf x'$ от $\mathbf y$ не зависит.

Им и не надо - переменные "немые".

Разве что тут ещё надо, чтобы функция $V$ была то ли чётной, то ли нечётной, вам проще выше по тексту посмотреть.

[r0ma]

Мм... Тогда всё стыкуется, если $V$ чётный. Но про него ничего не сказано... Может и вправду чётный.

-- Пн мар 18, 2013 00:06:02 --

А вообще, что-то уже запутался с немыми не немыми переменными. Индексы суммирования и переменные интегрирования всегда немые: обозначай их хоть какой буквой, да? Я почему-то часто на этом спотыкаюсь...

[Munin]

r0ma в сообщении #697336 писал(а):

Индексы суммирования и переменные интегрирования всегда немые: обозначай их хоть какой буквой, да?

Да, с одним исключением: они не должны совпадать с буквами, "унаследованными" из внешнего выражения (не немыми во всём выражении, или скажем, немыми в объемлющем интеграле).

r0ma в сообщении #697336 писал(а):

Я почему-то часто на этом спотыкаюсь...

Да привыкнете... Это только первая тонна исписанной бумаги - тяжело... :-)

[r0ma]

А $\langle\hat \Psi^+ (\mathbf y)\hat\Psi (\mathbf x)\rangle$ что значит? У него ниже по тексту написано, что это "...среднее стоящей внутри величины, вычисенное для основного состояния. Видно, что внутрь угловых скобок попадают только члены вида $\hat c ^+ _k \hat c _k$, причём $\hat c ^+ _k \hat c _k$ вычисляется для основного состояния". Т.е. я правильно понял, что

$$\langle\hat\Psi^+ (\mathbf y)\hat\Psi (\mathbf x)\rangle=\langle gnd|\hat\Psi^+ (\mathbf y)\hat\Psi (\mathbf x)|gnd\rangle,$$

где $|gnd\rangle\,-\,$ ground state - основное состояние?

Хотя... Что-то нет, наверное... Ну, в общем, вот, что у меня сейчас есть:

$$-\int d^3y V(\mathbf y-\mathbf x)\hat\Psi ^+ (\mathbf y)\hat\Psi(\mathbf y)\hat\Psi (\mathbf x)=\text{оставляю, как он и говорит, две суммы,}$$ $$\text{причём во второй делаю коммутационную перестановку}=$$ $$=-\sum_{km}\hat c^+_k\hat c_k\hat c_m\int d^3y\, V(\mathbf y-\mathbf x)\varphi ^*_k (\mathbf y)\varphi_k (\mathbf y)\varphi_m (\mathbf x)+\sum_{kl}\hat c_l\hat c^+_k\hat c_k\int d^3y\,V(\mathbf y-\mathbf x)\varphi ^*_k (\mathbf y)\varphi_l (\mathbf y)\varphi_k (\mathbf x).$$

Вот. Что сделать дальше, чтобы придти к выражению $(5.45)$ на картинке? Пока не догоню толком...

[Munin]

Вот как "вынесли" операторы рождения-уничтожения по (5.44), так и "внесите" их теперь обратно, воспользовавшись формулой (5.44) в обратную сторону, и имея в виду совпадения и переименования индексов.

[r0ma]

Munin в сообщении #697602 писал(а):

Вот как "вынесли" операторы рождения-уничтожения по (5.44), так и "внесите" их теперь обратно, воспользовавшись формулой (5.44) в обратную сторону, и имея в виду совпадения и переименования индексов.

Ну да, вот делаю [продолжаю с того момента] (у $V$ аргумент для краткости опускаю; полужирное начертание также для краткости опущу):

$$\ldots=-\sum_{km}\int d^3y\ V\ \hat c^+_k\varphi^*_k(y)\ \ \hat c_k\varphi_k (y)\ \ \hat c _m\varphi_m (x)+\sum_{kl}\int d^3y\,V\,\hat c_l\varphi_l(y)\ \ \hat c^+_k\varphi^*_k (y)\ \ \hat c _k\varphi_k (x)=\text{[сворачиваю}$$

$$\text{обратно в полевые операторы]}=-\int d^3y\ V\ \hat\Psi^+(y)\hat\Psi (y)\hat\Psi (x)+\int d^3y\ V\ \hat\Psi (y)\hat\Psi^+ (y)\hat\Psi (x).$$

Так вроде. А как получить $\langle\hat\Psi^+ (\mathbf y)\hat\Psi (\mathbf x)\rangle ?$
Что это вообще такое? То есть словами он написал, что это среднее. Но формулку бы. А то я в своих формулах собрать это не могу...

[Munin]

А вы правильно написали первую формулу в сообщении #697511 18.03.2013 12:49:48 (ненумерованную), только теперь там надо написать $\Psi$ как $(\sum)c\varphi,$ и э.с. от него соответственно.

-- 18.03.2013 20:45:58 --

(Ой, шапочки не расставил. Ну, должно быть понятно, что $c$ - это оператор, а $\varphi$ - просто функция.)

[r0ma]

Так, всё, приехал. Ступор полный.

$$\langle\hat\Psi^+ (\mathbf y)\hat\Psi (\mathbf x)\rangle=\langle gnd|\hat\Psi^+ (\mathbf y)\hat\Psi (\mathbf x)|gnd\rangle=\sum_{jn}\langle gnd|\hat c^+_n\varphi_n(y)\varphi_j(x)\hat c_j|gnd\rangle .$$

Но вроде как при действии уничтожающего оператора на основное состояние получается нуль:

$$\hat c_j\,|gnd\rangle = \langle gnd|\,\hat c^+_n = 0$$

просто по определению уничтожающего оператора. Разве нет? (Собственно, это видно и из той первой записи с полевыми операторами. Почему-то раньше просто внимания на это не обратил)

[Munin]

1) Я не совсем правильно записал, на что надо пси большую заменить.
2) Может, в твёрдом теле из ground state можно что-то уничтожать, дырки получатся.
3) Ну уж скалярные коэффициенты из бра-кет скобочек можно наружу выносить.

[r0ma]

Munin в сообщении #697967 писал(а):

1) Я не совсем правильно записал, на что надо пси большую заменить.
2) Может, в твёрдом теле из ground state можно что-то уничтожать, дырки получатся.
3) Ну уж скалярные коэффициенты из бра-кет скобочек можно наружу выносить.

1) Как это не совсем правильно? Всё верно. Просто по определению

$$\Psi (\mathbf y) = \sum_j \varphi_j (\mathbf y) c_j$$

и э.с. Другое дело я там забыл (недопечатал, на самом деле) комплексное сопряжение $\varphi_n (y)$.
2) С этим понятно.
3)

$$\langle\hat\Psi^+ (\mathbf y)\hat\Psi (\mathbf x)\rangle=\langle gnd|\hat\Psi^+ (\mathbf y)\hat\Psi (\mathbf x)|gnd\rangle=\sum_{jn}\varphi^*_n(y)\varphi_j(x)\langle gnd|\hat c^+_n\hat c_j|gnd\rangle .$$

Если честно, я всё ещё не понимаю.

[Munin]

r0ma в сообщении #698408 писал(а):

Просто по определению

$$\Psi (\mathbf y) = \sum_j \varphi_j (\mathbf y) c_j$$

и э.с.

Вот именно, что там надо смотреть, нет ли в самой формуле э.с. Если есть - то будет чему на ground state действовать.

r0ma в сообщении #698408 писал(а):

2) С этим понятно.

А вот мне как раз нет, что-то я сомневаюсь в осмысленности того, что ляпнул. Надо ещё народ звать.

[r0ma]

Munin в сообщении #698454 писал(а):

А вот мне как раз нет, что-то я сомневаюсь в осмысленности того, что ляпнул. Надо ещё народ звать.

А почему непонятно? Вот у нас есть Фермиевская сфера. Все состояния в ней заняты. Это - ground state. Действуя оператором $c_j$ мы уничтожаем частицу в $j$ состоянии. Я если честно, не знаю, что на её месте остаётся (кроме дырки, я не знаю, что ещё может остаться), но вот так. Опять же по определению уничтожающего оператора. Разве нет? Собственно, это подлежит ещё дальнейшему определению, как я понимаю (какое же конкретно там будет состояние после действия оператора). Грубо говоря, мы просто приниаем это за какое-то среднее поле. Причём,

$$\langle\hat\Psi^+ (\mathbf y)\hat\Psi (\mathbf y)\rangle$$

это поле электронной плотности ($\Psi^+\Psi\,-\,$ оператор плотности числа частиц - электронов в нашем случае), а

$$\langle\hat\Psi^+ (\mathbf y)\hat\Psi (\mathbf x)\rangle$$

это какое-то, видимо, обменное среднее.
Как-то так, я думаю.