Симметрический многочлен

[xmaister]

Пытаюсь доказать, что симметрический многочлен- многочлен от элементарных симметрических многочленов. Пока что не выходит. Группа $S_n$ действиет на мономы симметрического многочлена и достаточно доказать, что действие $S_n$- транзитивно. Для начала пытаюсь доказать, что $t_1^k+\ldots t_n^k$- многолчен от симметрических $(t_1+\ldots t_n)^k=\sum\limits_{i_1+\ldots +i_n=k}\frac{k!}{i_1!\ldots i_n!}t_1^{i_1}\ldots t_n^{i_n}$ но это толком ничего не дает...

[Leox]

пробуйте по индукции

[nnosipov]

xmaister в сообщении #697327 писал(а):

Пытаюсь доказать, что симметрический многочлен- многочлен от элементарных симметрических многочленов.

Он не только существует, но и единствен. Более того, имеет коэффициенты из того же кольца, что и исходный симметрический многочлен. Обычно это доказывают, используя лексикографический порядок на мономах. Для степенных сумм есть, кстати, рекуррентная формула Ньютона, которую можно доказать многими способами.

[iifat]

Может, попробовать так: вот такой член $x_1^5x_2^3$. В какие произведения элементарных симметрических он входит? Что можно сказать про другие одночлены таких произведений?

[xmaister]

nnosipov в сообщении #697415 писал(а):

Для степенных сумм есть, кстати, рекуррентная формула Ньютона, которую можно доказать многими способами.

Оно?

nnosipov в сообщении #697415 писал(а):

Обычно это доказывают, используя лексикографический порядок на мономах.

Старший член у некоторого симметрического многочлена имеет вид $ax_1^{k_1}\ldots x_n^{k_n}$, где $k_1\ge\ldots\ge k_n$. Рассмотрев такой многочлен и вычтя из него $as_1^{k_1-k_2}s_2^{k_2-k_3}\ldots s_n^{k_n}$ убиваем старшие члены и поднимаем по индукции.

(Оффтоп)

Сам не смог даже с вашей подсказкой до этого дойти, доказательство нагуглил...

Вот еще вопрос о симметрическом многочлене. Пусть $n\in\mathbb{N},s_k\in \mathbb{Z}[t_1,\ldots t_n]$-симметрический. Верно ли, что $s_k(\xi_1,\ldots ,\xi_n)\in\mathbb{Z}$, где $\xi_i$-корень $i$-й степени из $1$?

[nnosipov]

xmaister в сообщении #697502 писал(а):

Оно?

Да. Вот здесь одно из возможных доказательств: Райхштейн З.Б. Тождества Ньютона и математическая индукция // Математическое просвещение. Третья серия. Вып. 4. М.: МЦНМО, 2000. С. 204-205.

xmaister в сообщении #697502 писал(а):

Пусть $n\in\mathbb{N},s_k\in \mathbb{Z}[t_1,\ldots t_n]$-симметрический. Верно ли, что $s_k(\xi_1,\ldots ,\xi_n)\in\mathbb{Z}$, где $\xi_i$-корень $i$-й степени из $1$?

Здесь, видимо, опечатка: $\xi_i$ --- корень $n$-й степени из $1$. Тогда верно. Следует из теоремы о симметрических многочленах и формул Виета.

[xmaister]

nnosipov в сообщении #697607 писал(а):

Здесь, видимо, опечатка: $\xi_i$ --- корень $n$-й степени из $1$.

Да, очепятка. Действительно $x^n-1=(x-\xi_1)\ldots (x-\xi_n)$ в $\mathbb{C}$. Т.е. все $s_i(\xi_1,\ldots ,\xi_n)$-нулевые коме $s_n(\xi_1,\ldots ,\xi_n)$. Тогда $x^{p-1}-1=(x-1)\ldots (x-(p-1))$ и $s_i(1,2,\ldots ,p-1)=0$ кроме $s_n(1,2,\ldots ,p-1)$ и соответственно сравнимы между собой. Можно это как-нибудь обощить на произвольный модуль $n$?