О гипотезе Лежандра

[Апис]

Вся суть сравнения не ПБ с ГЛ а сравнение P_n+1 с разницей квадратов. Здесь сложность другая, несколько переходов когда простое как число и когда простое как отрезок. Главное что бы здесь не было накладок

[gris]

Вероятно, я просто не разобрался. Я чисто интуитивно. А Ваша теория в подробностях для меня сложновата .

[vorvalm]

А к какому интервалу относится пробел $127-113=14$?

[Апис]

vorvalm Мы где-то на форуме, этот вопрос, некоторое время назад уже обсуждали, а когда вы заметили не соответствие я попробовал найти да не помню где, но спасибо, указали мне. Суть вот в чём пробел 127-113=14 расположен сразу на двух соседних интервалах $\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)$

[vorvalm]

Т.е. вы хотите сказать, что ваше "доказательство" не рассматривает
пробелы на стыках интервалов?

[Апис]

Апис в сообщении #697440 писал(а):

На интервале $\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)$ нет пробела между соседними простыми числами, большего или равного начальному интервалу.

[vorvalm]

vorvalm в сообщении #697472 писал(а):

Т.е. вы хотите сказать, что ваше "доказательство" не рассматривает
пробелы на стыках интервалов?

Вы уклоняетесь от прямого вопроса.

[Апис]

Ну почему уклоняюсь, давайте поточнее, какое доказательство, и извините долго поддерживать дискуссию я не в состоянии, кроме чисел дел выше крыши. Да и вроде ясно сказано, на интервале таком-то пробел такой-то.

[vorvalm]

Я вас понял. Вы не хотите рассматривать пробелы на стыках интервалов.
Но тогда ваше "доказательство" ущербное.

(Оффтоп)

Это как в анекдоте про тещу: "умерла, так умерла".

[Апис]

Да не хочу, нет нужды. А про ущербное нужно доказать, а не голословно заявлять. Столько времени потерял ожидая. Всё ушёл. Мани мани мани, надо крутиться.

[vorvalm]

Да тут и доказывать нечего. Если на стыках ваших интервалов
могут быть такие пробелы, то кому нужны ваши "доказательства"?

[vicvolf]

Апис в сообщении #697501 писал(а):

Да не хочу, нет нужды. А про ущербное нужно доказать, а не голословно заявлять. Столько времени потерял ожидая. Всё ушёл. Мани мани мани, надо крутиться.

Вы можете не терять время на обсуждение. Вас никто не заставляет здесь публиковаться. Пишите статьи в журналы и монографии!

[vicvolf]

Другой способ доказательства гипотезы Лежандра, использующий оценку расстояния между соседними простыми числами.

В работе Pintz, J. "Very large gaps between consecutive primes". J. Number Theory 63 (2): 286–301, 1997 доказано, что для максимального расстояния между соседними простыми числами Pn и Pn+1 – G(Pn) справедливо неравенство $G(P_n)<(P_n)^{u+\varepsilon}.(1)$ для достаточно больших Рn и малых ε, где u=0,525.
Если подставить в (1) $P_n=N^2$, то $G(P_n)<(P_n)^{0,525 \cdot 2}=P_n^{1,05}$.
Так как $(N+1)^2-N^2=2N+1$, то для выполнения гипотезы Лежандра требуется, чтобы для любого N выполнялось неравенство:
$2N+1>N^{1,05}$.
Однако, данное неравенство, выполняется только для N<1000000.
Если бы удалось доказать справедливость неравенства (1) при u=0,5, т.е. меньше всего на 0,25, то из этого следовала бы справедливость более сильной гипотезы, чем Лежандра, что между двумя квадратами соседних натуральных чисел находится, как минимум 2 простых числа.
Однако для доказательства гипотезы Лежандра достаточно доказательство более слабой гипотезы Andrica, что для любого n, для максимального расстояния между соседними простыми числами, выполняется неравенство: $G(P_n)<2(P_n)^{0,5}+1.(2)$ .
Подставляя сюда $P_n=N^2$ получаем $G(P_n)<2N+1$ , т.е. разница между простыми числами меньше разности квадратов соседних натуральных чисел.
Если будет доказана гипотеза Римана, то справедлива будет гипотеза Крамера, что для n>3 выполняется: $G(P_n)<\ln^2(P_n)$ .
Из справедливости гипотезы Крамера будет следовать при n>120 справедливость (2) и соответственно гипотезы Лежандра. Таким образом, доказательство гипотезы Римана автоматически приведет к доказательству гипотезы Лежандра.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #699987 писал(а):

Если будет доказана гипотеза Римана, то справедлива будет гипотеза Крамера, что для n>3 выполняется: $G(P_n)<\ln^2(P_n)$ .
Из справедливости гипотезы Крамера будет следовать при n>120 справедливость (2) и соответственно гипотезы Лежандра. Таким образом, доказательство гипотезы Римана автоматически приведет к доказательству гипотезы Лежандра.

Здесь надо подправить. Из справедливости гипотезы Римана не следует справедливость гиротезы Крамера. Гипотеза Крамера основывается на вероятностной модели распределения простых, в которой предполагается, что вероятность того, что натуральное число x является простым, равна примерно $1/\ln(x)$. Из справедливости гипотезы Крамера действительно следует справедливость гипотезы Лежандра при n>120.