Сумма (не)чётной и периодической функций, как доказывать?

[Ktina]

На Ленинградке предлагали эту задачу в двух вариантах.

а) Можно ли функцию $f(x)=x^3$ представить в виде суммы двух функций, одна из которых чётна, а другая -- периодическая?

б) Можно ли функцию $f(x)=x^4$ представить в виде суммы двух функций, одна из которых нечётна, а другая -- периодическая?

Я набросала доказательство невозможности, но не знаю, верно ли оно.

(Попытка доказательства)

вариант а)
Пусть $g(x)$ чётная функция, а $h(x)$ периодическая с периодом $T\ne 0$
И пусть $f(x)=x^3\equiv g(x)+h(x)$
Тогда $g(T)=g(-T),\quad h(T)=h(-T)\quad\to\quad T^3=(-T)^3$ , а у нас $T\ne 0$ (это следует из определения периодической функции).
Получаем противоречие.

вариант б)
Пусть $g(x)$ нечётная функция, а $h(x)$ периодическая с периодом $T\ne 0$
И пусть $f(x)=x^4\equiv g(x)+h(x)$
Тогда

$$g(0)=-g(0)=0\quad\to\quad h(0)=f(0)-g(0)=0-0=0\quad\to\quad h(0)=h(T)=h(-T)=0$$

Но тогда

$$T^4=g(T)+h(T)=g(T)+0=g(T)\to(-T)^4=-g(T)+h(T)=-g(T)+0=-g(T)\quad\to\quad g(T)=0$$

Но тогда $T^4=g(T)+h(T)=0+0=0$, а у нас $T\ne 0$ (это следует из определения периодической функции).
И снова получаем противоречие.

Почему-то второй вариант получился намного сложнее первого...

[ИСН]

Не должно отличаться. Ведь это одна и та же задача. По сути, тут что: периодическая функция $h(x)-h(-x)$ (в первом случае) или $h(x)+h(-x)$ (во втором) приравнивается к совсем нифига не периодической $2x^{3\text{ или }4}$

[Ktina]

ИСН,
А у меня тогда в чём ошибка?

[gris]

Достаточно очевидно получается с непрерывными функциями. Периодическая ограничена на всей оси, но в обоих случаях она не может быть ограниченной на одной из бесконечностей.
А вот если они разрывные, то очевидность исчезает.

[ИСН]

Ktina в сообщении #697129 писал(а):

А у меня тогда в чём ошибка?

Ни в чём, всё так.

[Евгений Машеров]

Да нет никакой ошибки, просто второе доказательство изложено в более многословном стиле, чем первое, что создаёт впечатление, что оно сложнее.

Искренне Ваш, центурион Промптус.