Функан! Помогите пожалуйста. Вроде все просто.

[l33roy]

В первом задании ответ - Не сходится, я доказал неравномерную сходимость к нулю этой последовательности. Но не знаю, что с этим дальше делать. Подскажите свои варианты.

Во втором задании показал, что ||A||<=1, но дальше не знаю, что делать.

Помогите!!!

[Brukvalub]

1. Сказать, что последовательность сходится в

\[C[0;1]\]

, это то же самое, что сказать, что она сходится равномерно. Но равномерный предел, если он существует, всегда совпадает с поточечным. Поточечный предел этой последовательности равен 0, а равномерно она к 0 не стремится. Какой отсюда следует вывод?
2. Можно доказать, что неравенство для нормы превращается в равенство, например, подобрав последовательность функций с единичной нормой, норма образов которых стремится к 1, но, как мне кажется, это не так-то просто.

[RIP]

2)

$$\|A\|=\frac2{\pi}.$$

Эту и подобные задачи можно решать так.
Пусть $p(t)>0$ --- некоторая функция, которая будет выбрана ниже. Тогда

$$|Ax(t)|^2=\left|\int\limits_0^t\sqrt{p(\tau)}\cdot\frac{x(\tau)}{\sqrt{p(\tau)}}\,d\tau\right|^2\leqslant P(t)\int\limits_0^t\frac{|x(\tau)|^2}{p(\tau)}\,d\tau,$$

где $P(t)=\int\limits_0^tp(\tau)\,d\tau$. Интегрируя это неравенство, получаем

$$\|Ax\|_2^2\leqslant\int\limits_0^1P(t)\int\limits_0^t\frac{|x(\tau)|^2}{p(\tau)}\,d\tau\,dt=\int\limits_0^1|x(\tau)|^2\cdot\frac1{p(\tau)}\int\limits_\tau^1P(t)\,dt\,d\tau.$$

Если подобрать $p(t)$ таким образом, чтобы выполнялось $\int\limits_\tau^1P(t)\,dt=Cp(\tau)$, $C=\mathrm{const}$, то этим можно убить сразу двух зайцев. Во-первых, получаем, что $\|A\|\leqslant\sqrt C$. Во-вторых, если мы возьмём $x(t)=p(t)$, то все неравенства превращаются в равенства, поэтому $\|A\|=\sqrt C$. Значение для постоянной $C=\frac4{\pi^2}$ я Вам уже подсказал. Попробуйте найти функцию $p(t)$ самостоятельно.

[Brukvalub]

Brukvalub писал(а):

2. Можно доказать, что неравенство для нормы превращается в равенство, например, подобрав последовательность функций с единичной нормой, норма образов которых стремится к 1, но, как мне кажется, это не так-то просто.

Эх, чуяло мое сердце, что подобрать такую последовательность будет очень непросто

[l33roy]

Спасибо.

2Rip:

Где вы такой метод нашли?

Добавлено спустя 29 минут 33 секунды:

Цитата:

Если подобрать $p(t)$ таким образом, чтобы выполнялось $\int\limits_\tau^1P(t)\,dt=Cp(\tau)$, $C=\mathrm{const}$, то этим можно убить сразу двух зайцев.

RIP

Эта функция будет тригонометрической?

[RIP]

l33roy писал(а):

Где вы такой метод нашли?

Я его в своё время сам придумал (при решении аналогичной задачи).

l33roy писал(а):

Эта функция будет тригонометрической?

Да.

[l33roy]

2RIP:

Цитата:

Я его в своё время сам придумал (при решении аналогичной задачи).

Вы его не пробовали издавать или сделать хотябы методичку по нему?

Цитата:

Да.

Скажите, пожалуйста, эту функцию. Что-то не могу ...

[RIP]

l33roy писал(а):

Вы его не пробовали издавать или сделать хотябы методичку по нему?

Я на 99.99% уверен, что метод и без меня давно известен.

По поводу функции $p(t)$. Уравнение $\int\limits_\tau^1P(t)\,dt=Cp(\tau)$ можно переписать в виде

$$\left\{\begin{aligned}P(t)&=-Cp'(t);\\p(1)&=0.\end{aligned}\right.$$

Подставляете сюда выражение для $P(t)$ и продолжайте в том же духе.

[l33roy]

2RIP

$$\left\{\begin{aligned}\int\limits_0^tp(\tau)\,d\tau&=-Cp'(t);\\p(1)&=0.\end{aligned}\right.$$

[RIP]

RIP писал(а):

...продолжайте в том же духе.

[l33roy]

2RIP

$$\left\{\begin{aligned}\int\limits_0^tp(\tau)\,d\tau&=-Cp'(t);\\p(1)&=0.\end{aligned}\right.$$

$$\left\{\begin{aligned}p(\tau)&=Cp''(\tau);\\p(1)&=0.\end{aligned}\right.$$

так? А что дальше?

Скажите, правильно я вторую систему записал?

[RIP]

Уравнение $\int\limits_0^tp(\tau)\,d\tau=-Cp'(\tau)$ переписывается в виде

$$\left\{\begin{aligned}p(t)&=-Cp''(t);\\p'(0)&=0.\end{aligned}\right.$$

Теперь самое время вспомнить, что общее решение дифф. уравнения $p''(t)+\omega^2p(t)=0$ ($\omega>0$) имеет вид $p(t)=C_1\cos\omega t+C_2\sin\omega t$.

[l33roy]

2RIP

Получается:

$p(t)=C_1\cos\frac2{\pi} t+C_2\sin\frac2{\pi} t$

А $C_1$ и $C_2$ - константы? Не подскажите, как их вычислить?

[RIP]

Только не $\frac2\pi$, а $\frac\pi2$. Постоянные вычисляются, исходя из условий $p'(0)=p(1)=0$. Вернее, постоянные вычисляются с точностью до пропорциональности исходя из $p'(0)=0$ (очевидно, что если $p(t)$ удовлетворяет требуемому уравнению, то этому уравнению удовлетворяет и любая функция вида $Ap(t)$, $A=\mathrm{const}$). Условие $p(1)=0$ вместе с условием $p(t)>0$, $t\in(0;1)$, дают значение постоянной $C=\frac4{\pi^2}$, которое я посчитал за Вас.

[l33roy]

2RIP

Да, $\frac\pi2$ .

Получается С_1 = С_2 = $C=\frac4{\pi^2}$ ?