Корни многочлена и производной

[xmaister]

Докажите, что нули производной $P'(z)$ многочлена $P(z)$ с комплексными коэффициентами лежат на выпуклой оболочке множества корней $P(z)$.

[nnosipov]

Известная задача, настоящий антиквариат. Возможно, даже чья-то теорема.

[xmaister]

Недавно узнал об этой задаче, коллега предложил. Я рассуждал так: Если корень многочлена лежит в некоторой полуплоскости, то и корень производно там же лежит...

-- 17.03.2013, 16:19 --

nnosipov в сообщении #697017 писал(а):

Возможно, даже чья-то теорема.

(Действительно)

Клац

[Aritaborian]

xmaister в сообщении #697009 писал(а):

лежат на выпуклой оболочке множества корней $P(z)$.

Но только не на выпуклой оболочке, а внутри неё. См., напр., эту демонстрацию.

[вздымщик Цыпа]

Aritaborian в сообщении #697029 писал(а):

Но только не на выпуклой оболочке, а внутри неё.

Конечно же не обязательно внутри. Варианты:

$P(z)$ имеет кратные корни;
все корни $P(z)$ лежат на одной прямой (что всегда бывает при степени $2$).