Параметр.

[champion12]

Не получается разобраться с такой задачей.

При каких значениях параметра $a$ уравнение имеет единственное решение?

$\dfrac{x^2+1}{x}\log_a^4x+\dfrac{119-34a}{a}\log_a^2x+\cos\left(\dfrac{\pi\cdot a}{2}\right)\cdot \sqrt{4-a}=0$

ОДЗ: $x>0\;\;\;\;\;a\in(0;1)\cup(1;4]$

График какой-то очень некрасивый. С чего начать?

[gris]

Вначале можно откинуть значения параметра, при которых вообще нет корней, так как левая часть положительна на положительной полуоси.

[champion12]

gris в сообщении #696560 писал(а):

Вначале можно откинуть значения параметра, при которых вообще нет корней, так как левая часть положительна на положительной полуоси.

Ок, откинул. При $a\in (0;1)$ левая часть положительна, значит эти значения параметра можно выкинуть, но вот что дальше?

-- 16.03.2013, 14:28 --

$(3;3,5)$ тоже не подходит, остается рассмотреть $(1;3)\cup (3,5;4]$

Заметим, что $-2\leqslant \cos\left(\dfrac{\pi\cdot a}{2}\right)\cdot \sqrt{4-a}\leqslant 2$. Моэет это тоже пригодится.

[gris]

Посмотрите на первые два слагаемых левой части. При $a\in(1,3)$ их сумма неотрицательна и имеем минимум, равный нулю, в единице. Третье слагаемое, перенесённое в левую часть так же неотрицательно. То есть как бы получается 2 корня. Ну постороже посмотрите.
Смотрим при $a=3$. Вот оно!
А что потом?

[champion12]

gris в сообщении #696570 писал(а):

Посмотрите на первые два слагаемых левой части. При $a\in(1,3)$ их сумма неотрицательна и имеем минимум, равный нулю, в единице.

А как вы узнали? Как можно строже?

-- 16.03.2013, 14:56 --

А вот такая замена не пойдет? $\log_a^2x=t>0$

[gris]

А чего там узнавать? Всё положительно, только логарифм может обратиться в ноль. Ну а дальше вблизи нуля функция (сумма двух слагаемых) почти бесконечна, на бесконечности бесконечна. Это при любом $a\in (1,3.5)$. Функция непрерывна, так что при любом положительном значении правой части имеем по крайней мере два корня. Один до единички, другой после. Один корень может быть толко тогда, когда правая часть равна нулю. То есть при $a=3$.
Осталось проанализировать, что там от трёх с половиной до четырёх. Правая часть положительна, а левая? В единице так и будет ноль, вблизи нуля вроде бы бесконечность? Я не могу ни на чём посчитать. Посмотрите, может быть там тоже ровно один корень.

Но это такое решение, на анализе поведения функции. Может быть есть более красивое и понятное.

[champion12]

А как вы узнали, что именно два корня? Через производную?

Цитата:

Функция непрерывна, так что при любом положительном значении правой части имеем по крайней мере два корня. Один до единички, другой после.

[gris]

Если непрерывная функция на одном краю интервала равна нулю, а на другом стремится к бесконечности, то любое положительное значение она внутри интервала хотя бы раз примет. Если она строго монотонна, то ровно один раз. Но нам достаточно, что не меньше одного. Два интервала — два корня. То есть больше одного заведомо.