Итак: надо доказать, что выражение

не выполняется при любых

взаимно простые числа и

Пусть

Соответственно, если X,Y,Z-взаимно простые числа, то и их сомножители тоже взаимно простые числа.
После преобразований выражений(1-3) получаем:
Получили утроенное произведение трёх взаимно простых сомножителей равное кубу.
Отсюда следует, что два из трех сомножителей всегда кубы, а третий имеет вид

Рассмотрим все 3 возможных варианта:
1 вариант: Предположим, что кратен 3 сомножитель

, тогда имеем:


Далее из

получим:

Учитывая, что


Но при

можно так же преобразовать основное уравнение таким образом

И далее

С учетом


Разделим

на

и получим
Получилось, что

и

кратны

, но это неверно!
Так как

Получили противоречие!
Аналогично для 2-ух других случаев!