У Вас получилось красивое решение. Хотя для полной ясности хорошо бы описать построение множества B из леммы и конец изложить подробнее.
Предлагаю для сравнения свой вариант решения, который отослал авторам задачника в год его выхода.
Пусть, как и выше,

и

подмножества натурального ряда ,

– невозрастающие последовательности положительных чисел, сходящиеся к нулю,

–некоторая перестановка натурального ряда. Будем считать

–

- мерой множества

, и считать его измеримым по мере

, если

. (Определение измеримости годится и для немонотонных последовательностей).
В этих терминах задача будет выглядеть так:
Если каждое множество

, измеримое по мере

, при перестановке

натурального ряда переходит в множество

, измеримое по мере

, то каждое

также измеримо по мере

. (Для заданной перестановки это свойство задает отношение эквивалентности между мерами

и

).
Доказательство.
По условию задачи, всякое

, измеримое по мере

, измеримо и по мере

. Построим монотонную сходящуюся к нулю последовательность

, мажорирующую последовательность

,

.
Для каждого

определим точку

, как ближайшую справа точку

, для которой

, и обозначим через

множество всех

. Множество

измеримо по мере

, так как

не возрастает и каждый член суммы

не больше соответствующего члена сходящейся суммы

.
Множество

измеримо также и по мере

, так как, по определению

, но последняя сумма сходится, поскольку является

-мерой

-измеримого множества

.
Так как очевидно, что

, то из измеримости

по мере

, следует измеримость

по мере

. END.