"Обыкновенные дифференциальные уравнения" Арнольда

[Chernoknizhnik]

Хочется пообсуждать "Обыкновенные дифференциальные уравнения" В.И.Арнольда и узнать мнения участников об этой замечательной (вроде бы) книжке.
Сам я пытался изучать её еще будучи первокурсником, но всё время меня останавливало слишком "сырое" знание математического анализа и некоторая неопытность. Прошли года (ну, один год), и ситуация изменилась к лучшему, но не так сильно - всё прежнее непонимание Арнольда и неважные знания в области математичекого анализа (я имею в виду "многомерный" анализ - гладкие многообразия и т.п.) мешали полноценному восприятию того, что с легкостью и большим мастерством написал Арнольд.
Т.о., я считаю, что Арнольд не сумел в полной мере найти компромисс между наглядностью, ясностью и математической строгостью, т.к. он без всяких (строгих) определений говорит о фазовых пространствах, фазовых потоках, уже на первых страницах говорит, что "процесс называется дифференцируемым, если его фазовое пространство имеет структуру дифференцируемого многообразия", обещая всё разъяснить ближе к концу курса (действительно, последняя глава называется "дифференциальные уравнения на многообразиях", там и определяются расслоения и векторные поля; понятие векторного поля же фигурирует на протяжении чуть ли не всей книжки!).
С другой стороны, я прекрасно понимаю, что понятия многообразия и векторного поля ничего сверхестественно-сложного из себя не представляют, а наоборот, являются совершенно естественными и простыми вещами (а помогает, тут, кстати, алгебраическая точка зрения, возвращаясь к недавним дискуссиям), но, всё-таки, я считаю, что нельзя так сильно рассчитывать на воображение читателя - писать, например, "это уравнение описывает эволюционный процесс с одномерным фазовым пространством" на первых же страницах.
Только теперь, изучая анализ на многообразиях, я чувствую себя готовым изучать эту книжку.
Но Арнольд, конечно же, велик, что тут и говорить.
Уважаемые участники, каково ваше мнение насчет этой книги и вообще других творений В.И.Арнольда?

[xmaister]

Я тоже года полтора назад начинал читать Арнольда. Но как начал так и закончил. Сложный он. И знание анализа на многообразиях требует продвинутое как я понял... Собственно, по этой причине начал читать Уорнера- основы теории гладких многообразий и групп Ли, но тоже дальше первой главы, которая шла с очень большим скрипом, не продвинулся. В итоге к Арнольду больше не возвращался... Как-то так.

[Oleg Zubelevich]

сначала надо прослушать хороший последовательный курс ОДУ и хороший курс дифференциальной геометрии. После этого некоторые разделы этой книги будут читаться легко и увлекательно, как научпоп, а некоторые вы просто пролистаете по диагонали т.к. их содержимое уже будет вам известно.

[xmaister]

Oleg Zubelevich в сообщении #695614 писал(а):

сначала надо прослушать хороший последовательный курс ОДУ и хороший курс дифференциальной геометрии

А что бы Вы посоветовали почитать в качестве хорошего курса ОДУ и геометрии?

[Munin]

Chernoknizhnik в сообщении #695372 писал(а):

он без всяких (строгих) определений говорит

Это стиль Арнольда. Зачастую, чтобы его понимать, нужно знание математики в объёме аспирантуры, или даже аспирантур по нескольким специальностям. Он видит математику как нечто цельное, и не стесняется скакать с одного на другое.

[Oleg Zubelevich]

Мне очень нравится последнее время книжка Gerald Teschl 'Ordinary dierential equations and Dynamical Systems'
Она есть в сети
Еще очень важная книжка по ОДУ Б.П. Демидович Лекции по математической теории устойчивости. -- к ней не надо относиться как к чемуто специальному, это именно текст по общей теории ОДУ

по геометрии -- лучше пусть специалисты говорят

[Chernoknizhnik]

xmaister в сообщении #695618 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #695614 писал(а):

сначала надо прослушать хороший последовательный курс ОДУ и хороший курс дифференциальной геометрии

А что бы Вы посоветовали почитать в качестве хорошего курса ОДУ и геометрии?

А я долгонько не мог подобрать хорошие книжки по геометрии (Вы имеете в виду дифференциальную, видимо), но в итоге начал с небольшой книжки "Лекции по математическому анализу" (С.М.Львовский) и обзорно изучаю "Курс дифференциальной геометрии и топологии" (Мищенко, Фоменко), который отлично дополняется их же задачником. В довесок можно изучить брошюрку "Лекции по дифференциальной геометрии" (Казарян). На мой взгляд, весьма хорошее представление можно таким образом получить.

[xmaister]

А за сколько времени Вы этот материал освоили?

Munin в сообщении #695626 писал(а):

Зачастую, чтобы его понимать, нужно знание математики в объёме аспирантуры

Вы имеете в виду тот самый Arnold Trivium?

[Oleg Zubelevich]

сто раз слышал, что тривиум очень сложный. какие конкретно задачи сложны? (я там только анализ более-менее смотрел и ДУ)

http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml ... n_lang=rus
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml ... n_lang=rus

[xmaister]

Вот например 18,93 здесь.

[Oleg Zubelevich]

18) -- приводим квадратичную форму к каноническому виду, получаем кратный интеграл
19) -- ну тут наверное надо что-то в группах перестановок понимать, я алгебру не знаю , но то, что вижу по анализу и дифурам несложно

[Munin]

xmaister в сообщении #695722 писал(а):

Вы имеете в виду тот самый Arnold Trivium?

Нет, пожалуй. Тривиум - это набор приёмов и техник, которые нужно освоить, а тут речь идёт скорее о понятиях - надо знать некоторый набор теорий, причём на уровне беглости, чтобы моментально понимать, о чём речь.

-- 15.03.2013 01:12:24 --

Oleg Zubelevich в сообщении #695743 писал(а):

сто раз слышал, что тривиум очень сложный. какие конкретно задачи сложны? (я там только анализ более-менее смотрел и ДУ)

Отдельные задачи там не сложны. Просто надо знать сразу кучу матчасти, чтобы решить их все.

[Oleg Zubelevich]

причем куча подобрана исключительно из личного вкуса автора. что характерно, про интеграл Лебега, например, там и слова нет:)

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #695804 писал(а):

причем куча подобрана исключительно из личного вкуса автора.

Ну, может быть, он и другими соображениями пользовался.

[Chernoknizhnik]

xmaister в сообщении #695722 писал(а):

А за сколько времени Вы этот материал освоили?

xmaister, "Лекции" Львовского, точнее вторую, третью части, недели за две-три, ну а Мищенко-Фоменко легко после них читается, первые главы три-четыре где-то за месяц, правда, ничем другим я больше тогда не занимался , а Казаряна я не читал.

-- 15.03.2013, 10:55 --

Munin в сообщении #695810 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #695804 писал(а):

причем куча подобрана исключительно из личного вкуса автора.

Ну, может быть, он и другими соображениями пользовался.

Если я правильно понял, то он имел в виду список "типовых" задач, которые должен к выпуску уметь решать студент-математик. Кажется, многого Арнольд недобрал - где же в Тривиуме "абстрактная" (не люблю это слово!) алгебра и т.п.