Открытые шары в $\mathbb{R}}^n$

[xmaister]

Совершенно не понимаю как решить задачу. Я не знаю, есть ли какой-нибудь известный общий факт в геометрии, откуда это могло бы следовать. Пусть $\mathcal{B}$- семейство открытых шаров в $\mathbb{R}^n$, таких что $c<\mu\left(\bigcup\mathcal{B}\right)$, где $\mu$- мера Лебега. Докажите, что существует конечное семейство попарно не пересекающихся шаров $\{U_i\}_{i=1}^{k}\subset\mathcal{B}$, таких что $\sum\limits_{i=1}^{k}\mu (U_i)>\frac{c}{3^n}$.
Или вот такое например: Пусть $\varphi:\mathbb{S}^n\to\mathbb{S}^m$- нечетное отображение. Требуется доказать, что $\mu(\varphi(\mathbb{S}^n))\ge\mu(\mathbb{S}^n)$. Как реать такие геометрические задачи? Возможно ли усилить оценку в первой задаче?

[g______d]

Не понимаю условия первой задачи. Что если изначально любые 2 шара семейства пересекаются? Или $U_i$ не обязательно из исходного семейства? Тогда какие на них накладываются условия? И как связаны $k$ и $n$?

Вообще для похожих задач есть такое рассуждение: берем шар максимального радиуса, потом шар максимального радиуса, не пересекающийся с ним и т. д. Но чтобы понять, работает ли оно, нужно понять условие. И еще это похоже на теорему Витали

http://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_covering_theorem.

[xmaister]

-- 13.03.2013, 23:30 --

g______d в сообщении #695204 писал(а):

http://en.wikipedia.org/wiki/Vitali_covering_theorem.

Спасибо, интересная теорема!

-- 13.03.2013, 23:33 --

g______d в сообщении #695204 писал(а):

Что если изначально любые 2 шара семейства пересекаются?

Кстати, тут нам ничего не мешает взять 1 шар достаточно большого объема.

[g______d]

А, я не сразу понял, что $k$ мы можем выбирать. Ну тогда, похоже, проходит жадный алгоритм, который я предложил. Пусть больше шаров добавить нельзя. Тогда любой из оставшихся шаров целиком целиком лежит в $2R_i$-окрестности одного из выбранных шаров $U_i$ и можно оценить объем остатка. Ну и что-то аккуратно сделать если оказалось, что процесс можно продолжать бесконечно.

[xmaister]

g______d
Идею понял, спасибо еще раз . А что можно сказать про вторую задачу?

xmaister в сообщении #695180 писал(а):

Пусть $\varphi:\mathbb{S}^n\to\mathbb{S}^m$- нечетное отображение. Требуется доказать, что $\mu(\varphi(\mathbb{S}^n))\ge\mu(\mathbb{S}^n)$.

[g______d]

А я тут тоже не могу понять условия. Что такое $\mu$? Если это стандартная мера Лебега соответствующей размерности на сфере, то это разве правда при $m>n$?

[xmaister]

Да, $\mu$- это Лебеговская мера. А разве нет? Если нет, то каков контрпример? Ну и случай $n>m$ можно сразу выкинуть из-за отсутствия нечетного отображения.

-- 14.03.2013, 08:21 --

(Оффтоп)

Еще возник вопрос: Можно ли как-нибудь из теоремы Борсука-Улама вывести теорему Хэлли?

[g______d]

Если $\varphi\colon \mathbb S^1\to \mathbb S^2$ --- стандартное вложение (в виде большой окружности), то $\mu_1(\mathbb S^1)=2\pi$, но $\mu_2(\varphi(\mathbb S^1))=0$.

Но, похоже, по крайней мере для $n=m$ это осмысленная задача.

[xmaister]

Да, понятно. Положим, что $n=m$. Как можно подойти в этом случае?

[g______d]

Все равно странная формулировка. Почему тогда просто не просить доказать, что оно сюръективно? Если $\varphi$ не непрерывно, то это опять же неправда (разобьем все точки на пары противоположных и отобразим все в одну пару). Если непрерывно и не сюръективно, то выкинем точку, не принадлежащую образу. Сфера без точки стягиваема, так что отображение гомотопно константе. Может ли нечетное отображение быть гомотопно нулю?