Операторы во втор. квантовании

[r0ma]

Здравствуйте!
Пытаюсь разобраться по Фейнмановской стат. механике со вторичным квантованием.
Появилось несколько вопросов.
Во-первых, почему он пишет так:

$$|\mathbf{p}\rangle=\int d^3\mathbf{x}\,|\mathbf{x}\rangle\langle\mathbf{x}|\mathbf{p}\rangle$$

$$|\mathbf{x}\rangle=\frac{1}{(2\pi)^3}\int d^3\mathbf{p}\,|\mathbf{p}\rangle\langle\mathbf{p}|\mathbf{x}\rangle$$

Откуда взялся $\frac{1}{(2\pi)^3}$? Я понимаю, что в человеческих обозначениях это преобразование Фурье. И поэтому этот множитель нужен для нормировки. Не очень ясно откуда он в дираке взялся. Ведь всё, что мы делаем - это тупо суём единичный оператор (и осуществляем суммирование, конечно - интергрирование в данном случае, т.к. представление непрерывное), тем самым переходся в другое представление. И откуда взяться нормировочному множителю - не очень ясно. Для меня. Пока.

[Alex-Yu]

r0ma в сообщении #694882 писал(а):

И откуда взяться нормировочному множителю - не очень ясно.

Это дело вкуса. Хотим -- используем векторы состояния $|{\bf p}\rangle$ нормированные на дельта-функцию (тогда этого множителя не будет). Хотим --- используем эти векторы нормированными на дельта-функцию с дополнительным множителем (тогда он будет). А можно еще "раскидать" этот множитель между нормировками $|{\bf p}\rangle$ и $|{\bf x}\rangle$.

[r0ma]

Погодите. Вообще, нормировка, как я понимаю, должна быть такая: $\langle\mathbf p '|\mathbf p \rangle =\delta^3(\mathbf p- \mathbf {p}')$ и $\langle\mathbf {x}'|\mathbf x\rangle =\delta ^3(\mathbf x - \mathbf x ')$, так? Видимо, отсюда и появятся все эти $(2\pi)^{-3}$. Не понятно только как раскидывать... Я понимаю о чём Вы говорите. Т.е. можно $(2\pi)^{-\frac d 2},$ где $d\,-$ размерность пространства. Нам в университете всегда это говорили, но никто никогда "в лоб" это не получал и не проделывал. Отсюда у меня и такие вопросы.

Вообще, у меня изначально вопрос не в этом был. Просто это как отвлечение что ли, которым я всегда пользовался (я про нормировочный множитель), но никогда особо не понимал. Вопрос такой. Я хочу понять как Фейнман записывает гамильнониан в представлении чисел заполнения. Для меня это всё сейчас ново, поэтому вопросы будут самые что ни на есть тупые. Вообще, вопрос в сущности сводится к определению средних. Непосредственно у научника спросить не могу. Смотался на конференцию куда-то там.
Значит одночастичный

$$\hat{\operatorname{H}}^1=\frac{\mathbf p ^2}{2m}+V(\mathbf x )$$

Надо сосчитать среднее:

$$\langle\mathbf{x} |\hat{\operatorname{H}}^1|\mathbf x ' \rangle=-\frac{1}{2m}\nabla^2\delta ^3(\mathbf x - \mathbf x ' )+V(\mathbf x )\delta^3(\mathbf x - \mathbf x ').$$

Это у Фейнмана. У меня:

$$\langle\mathbf x|\hat{\operatorname{H}} ^1|\mathbf x '\rangle=-\frac{\hbar^2}{2m}\int \psi^ * (\mathbf x )\partial^2_{\mathbf x}\psi(\mathbf x ')d^3\mathbf x+\int \psi^ * (\mathbf x )V(\mathbf x )\psi(\mathbf x ' )d^3\mathbf x =?$$

Что дальше? Я же не могу просто так взять и вытащить из под интеграла пот. энергию и лаласиан.

[r0ma]

Да, прошу прощения, совсем забыл написать точные данные (хотя это, наверное, и так ясно): Фейнман "Стат. механика", разд. 6, пар. 8.

[ИгорЪ]

r0ma
Прочтите в любом букваре вывод фейнмановского интеграла по траекториям для амплитуды перехода, там будут такие средние. Причем здесь "операторы во втор. квантовании"?

[r0ma]

ИгорЪ в сообщении #695237 писал(а):

Прочтите в любом букваре вывод фейнмановского интеграла по траекториям для амплитуды перехода

Ни разу не читал. Только слышал. Почитаю. Спасибо.

ИгорЪ в сообщении #695237 писал(а):

Причем здесь "операторы во втор. квантовании"?

Ну потому что Фейнман даёт это в главе про вторичное квантование. Да и потом я хочу научится записывать операторы во вторичном квантовании, а для них по определению:

$$\hat A=\sum_{i,\;j}\langle i|\hat A|j\rangle \hat a ^+ _i \hat a _j.$$

Т.е. надо как раз сосчитать матричные элементы оператора $A_{ij}$ (я почему-то выше назвал это средним, что, конечно, неверно. Не знаю, что за муха укусила), что я и пытаюсь безуспешно (пока) сделать. Просто Фейнман в этой книге сразу без вывода даёт такое выражение, которое я писал выше. Я же начинаю "в лоб" делать и не получается, потому что вынести лапласиан или потенциальную энергию я из под интеграла, очевидно, не могу, т.к. всё в координатном представлении. Но и сосчитать не могу, потому что у меня какие-то $\psi (\mathbf x)$ и какая-то $V(\mathbf x)$.

[espe]

r0ma в сообщении #695084 писал(а):

У меня:

$$\langle\mathbf x|\hat{\operatorname{H}} ^1|\mathbf x '\rangle=-\frac{\hbar^2}{2m}\int \psi^ * (\mathbf x )\partial^2_{\mathbf x}\psi(\mathbf x ')d^3\mathbf x+\int \psi^ * (\mathbf x )V(\mathbf x )\psi(\mathbf x ' )d^3\mathbf x =?$$

Что дальше?

А откуда Вы это выражение взяли? Я бы думал, что Вы хотели написать что-то вроде этого

$$\langle\psi|\hat{\operatorname{H}} ^1|\psi '\rangle=-\frac{\hbar^2}{2m}\int \psi^ * (\mathbf x )\partial^2_{\mathbf x}\psi'(\mathbf x )d^3\mathbf x+\int \psi^ * (\mathbf x )V(\mathbf x )\psi'(\mathbf x )d^3\mathbf x$$

[r0ma]

espe в сообщении #695341 писал(а):

А откуда Вы это выражение взяли? Я бы думал, что Вы хотели написать что-то вроде этого

Почему? Надо сосчитать матричный элемент $\langle \mathbf x |\hat{\operatorname{H}} ^1|\mathbf x ' \rangle$. Это по определению $\int\psi (\mathbf x)\hat{\operatorname{H}} ^1 \psi (\mathbf x')d^3\mathbf x$. Так вроде всегда было.

[espe]

Хотя бы потому, что у Вас левая часть зависит от $\mathbf x$, а правая --- нет.

[r0ma]

espe в сообщении #695346 писал(а):

Хотя бы потому, что у Вас левая часть зависит от , а правая --- нет.

Хорошо, тогда объясните как правильно. В конце концов, я, знав бы это, сюда бы не пришёл.

[espe]

Как правильно, я написал

espe в сообщении #695341 писал(а):

$$\langle\psi|\hat{\operatorname{H}} ^1|\psi '\rangle=-\frac{\hbar^2}{2m}\int \psi^ * (\mathbf x )\partial^2_{\mathbf x}\psi'(\mathbf x )d^3\mathbf x+\int \psi^ * (\mathbf x )V(\mathbf x )\psi'(\mathbf x )d^3\mathbf x$$

Например, можно так.

Берёте в качестве

$$\psi(\mathbf{x})\to\psi_{\mathbf{x}''}(\mathbf{x})=\langle\mathbf{ x}|\mathbf{x}''\rangle=\delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}'')\qquad\psi'(\mathbf{x})\to\psi_{\mathbf{x}'}(\mathbf{x})=\langle \mathbf{x}|\mathbf{x}'\rangle=\delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}')$$

такие векторы состояния, в которых частица находится в точке с координатами $\mathbf{x}''$ и $\mathbf{x}'$ соответственно, и получаете.

[r0ma]

espe
хорошо.

$$\int \delta ^3(\mathbf x -\mathbf x '')\partial ^2 _{\mathbf x } \delta ^3(\mathbf x -\mathbf x ')d ^3\mathbf x$$

Это от импульсной части. Если честно, не помню, чтоб я с такими интегралами имел дело. В википедии нашёл производную от дельты Дирака:

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^{[n]}(x-a)\,dx=\left.(-1)^n\frac{\partial^n f(x)}{\partial x^n}\right|_{x=a}.$$

Если этому следовать, то тогда это будет равно $\partial ^2_{\mathbf x}\delta (\mathbf x - \mathbf x '')|_{x=x'}.$ Это так?

В части потенциальной энергии:

$$\int \delta ^3(\mathbf x -\mathbf x '')V(\mathbf x )\delta ^3(\mathbf x -\mathbf x ')d^3\mathbf x.$$

А это как сосчитать?

[espe]

r0ma в сообщении #695787 писал(а):

Если этому следовать, то тогда это будет равно $\partial ^2_{\mathbf x}\delta (\mathbf x - \mathbf x '')|_{x=x'}.$ Это так?

Так. И равно $\partial ^2_{\mathbf x'}\delta (\mathbf x' - \mathbf x '')=\partial ^2_{\mathbf x''}\delta (\mathbf x'' - \mathbf x ')$.

r0ma в сообщении #695787 писал(а):

В части потенциальной энергии:

$$\int \delta ^3(\mathbf x -\mathbf x '')V(\mathbf x )\delta ^3(\mathbf x -\mathbf x ')d^3\mathbf x.$$

А это как сосчитать?

Берёте формулу

r0ma в сообщении #695787 писал(а):

$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta^{[n]}(x-a)\,dx=\left.(-1)^n\frac{\partial^n f(x)}{\partial x^n}\right|_{x=a}.$$

при $n=0$ и применяете как и раньше. Получите

$$V(\mathbf x )\delta ^3(\mathbf x -\mathbf x ')|_{\mathbf x\to\mathbf x ''}=V(\mathbf x'' )\delta ^3(\mathbf x'' -\mathbf x ')$$

Собераете всё вместе, меняете $\mathbf x''\to\mathbf x$ и получаете искомую формулу.