Пустое множество и аксиома нейтрального элемента

[ZeZeeb]

Есть множество $X$ и бинарная операция $X\times X \to X$.
Потребуем, чтобы выполнялось условие $\exists i \forall x \; xi=x=ix$.

Будет ли пустое множество $X$ (с пустой операцией) удовлетворять этим условиям?

[Chernoknizhnik]

А зачем Вам это? Видимо, не будет, т.к. никакого $i$ не будет.

[ZeZeeb]

Chernoknizhnik в сообщении #695014 писал(а):

Видимо, не будет, т.к. никакого $i$ не будет.

Вы так рассуждали?
$\exists i (i\in X \wedge \forall x (x \in X \Rightarrow xi=x=ix))$ ложно, тк
$\exists i (i\in X)$ ложь, если $X$ пусто.

[Chernoknizhnik]

Признаться, рассуждал я в более приземленных терминах, но суть моего замечания Вы уловили.

[Lukin]

Можно еще проще, запись $\varnothing \times \varnothing = \varnothing$, вроде бы говорит о наличии бинарного отношения "$=$" (да и "$\times$" тоже), между парой множеств, но т.к. прямое произведение пустого множества на себя является пустым, то никаких бинарных отношений и функций на нем и с ним быть не может. Т.е. это - противоречивая формула.

[Xaositect]

Lukin в сообщении #695193 писал(а):

т.к. прямое произведение пустого множества на себя является пустым, то никаких бинарных отношений и функций на нем и с ним быть не может.

Может. Пустое отношение(везде ложное) и пустая функция(с пустым доменом).

[Lukin]

Xaositect в сообщении #695289 писал(а):

Может. Пустое отношение(везде ложное) и пустая функция(с пустым доменом).

А можно я чуть-чуть посопротивляюсь ? Для пользы дела
Двумесное отношение определено через декартово произведение множеств, как множество пар $(a,b) \in X \times Y$. Если $X=Y=\varnothing$, то это множество пусто. А раз в нем нет элементов , то ни одной пары вида $(a,b)$ нет, т.е. нет ни одного отношения.
Допустим, отношение определено, как подмножество прямого произведения.
Тогда для пустого множества есть только одно отношение $<\varnothing>$, ну и одна функция, такая же.
Почему оно везде ложное не понял, что мешает так $\varnothing < \varnothing > \varnothing = true$ (в середине - то самое пустое отношени, допустим это отношение равно "=", т.е. два пустых множества равны).

[ZeZeeb]

Lukin в сообщении #695311 писал(а):

Почему оно везде ложное не понял, что мешает так $\varnothing < \varnothing > \varnothing = true$ (в середине - то самое пустое отношени, допустим это отношение равно "=", т.е. два пустых множества равны).

Вы не можете писать $\varnothing < \varnothing > \varnothing = true$, так как отношение $ < \varnothing > $ определено на пустом множестве, и $\varnothing \not \in \varnothing$ (если я правильно понял).

Бинарное отношение на пустом множестве единственно. Оно истинно и одновременно ложно для всех пар элементов, потому что таких пар нет.

[Lukin]

ZeZeeb в сообщении #695373 писал(а):

Бинарное отношение на пустом множестве единственно. Оно истинно и одновременно ложно для всех пар элементов, потому что таких пар нет.

Не хотите ли Вы сказать, что любое, а точнее единственное, бинарное отношение, существующее на пустом множестве противоречиво ? Т.е. бессмысленно утверждать, что-либо вроде $\varnothing = \varnothing$ или $\varnothing \times \varnothing$, т.к. все это – противоречия ?

ZeZeeb в сообщении #695373 писал(а):

Вы не можете писать $\varnothing < \varnothing > \varnothing = true$, так как отношение $ < \varnothing > $ определено на пустом множестве, и $\varnothing \not \in \varnothing$ (если я правильно понял).

Т.е. пустое множество не принадлежит ни одному, а точнее единственному, из определенных на нем отношений ? Даже отношению принадлежности $\in$
Либо отношения на пустом множестве есть и чтобы доказать это достаточно привести любое, хотя бы одно такое отношение. Если оно будет противоречивым или ложным - тем хуже для него (точнее для тех, кто им пользуется). Либо отношений на пустом множестве нет, т.к. любое мыслимое отношение является противоречивым.

[ZeZeeb]

Lukin в сообщении #695388 писал(а):

Не хотите ли Вы сказать, что любое, а точнее единственное, бинарное отношение, существующее на пустом множестве противоречиво ? Т.е. бессмысленно утверждать, что-либо вроде $\varnothing = \varnothing$ или $\varnothing \times \varnothing$, т.к. все это – противоречия ?

Что значит противоречиво?
Для элементов пустого множества истинны любые высказывания о них.

$\varnothing \times \varnothing$ не утверждение, так как $\times $ не является отношением, это операция.

Цитата:

Т.е. пустое множество не принадлежит ни одному, а точнее единственному, из определенных на нем отношений ?

Да, потому что (единственное) отношение на пустом множестве пусто.

Бинарное отношение на пустом множестве существует по определению бинарного отношения $\mathcal R \subset \varnothing \times \varnothing = \varnothing$ и оно единственно$\mathcal R = \varnothing$, так как есть единственное подмножество пустого множества. Пустое.

[Lukin]

ZeZeeb в сообщении #695479 писал(а):

Lukin в сообщении #695388 писал(а):

Не хотите ли Вы сказать, что любое, а точнее единственное, бинарное отношение, существующее на пустом множестве противоречиво ? Т.е. бессмысленно утверждать, что-либо вроде $\varnothing = \varnothing$ или $\varnothing \times \varnothing$, т.к. все это – противоречия ?

Что значит противоречиво?
Для элементов пустого множества истинны любые высказывания о них.

Так и я о том же. Если надо, чтоб были равны - будут равны, если нет – то не будут, захотите - будут элементом друг друга и т.д.
Вы спрашиваете, что значит противоречиво ? Цитирую:

ZeZeeb в сообщении #695373 писал(а):

Бинарное отношение на пустом множестве единственно. Оно истинно и одновременно ложно для всех пар элементов, потому что таких пар нет.

Очевидно, истинно и одновременно ложно, означает противоречиво.

ZeZeeb в сообщении #695373 писал(а):

Бинарное отношение на пустом множестве существует по определению бинарного отношения $\mathcal R \subset \varnothing \times \varnothing = \varnothing$ и оно единственно$\mathcal R = \varnothing$, так как есть единственное подмножество пустого множества. Пустое.

Так и я о том же. Вот Вы определили отношение $\mathcal R$ на пустом множестве. Пусть у нас есть пустое множество и бинарное отношение $\mathcal R $ на нем, по определению, $\varnothing \mathcal R \varnothing$ - формула теории множеств, такая же, как, например $\varnothing = \varnothing$ или $\varnothing \in \varnothing$ или $\varnothing \notin \varnothing$. Она может быть истиной или ложной (или противоречивой). Т.к. $\mathcal R$ - единственно, остается понять что это за отношение, может быть равенство или неравенство или принадлежность ? Какие у этого единственного отношения свойства ? А если нам захотелось определить на пустом множестве сразу два или три бинарных отношения в одной теории ?

[Xaositect]

Lukin в сообщении #695518 писал(а):

ZeZeeb в сообщении #695373 писал(а):

Бинарное отношение на пустом множестве единственно. Оно истинно и одновременно ложно для всех пар элементов, потому что таких пар нет.

Очевидно, истинно и одновременно ложно, означает противоречиво.

Истинно для всех $D$ и ложно для всех $D$ - значит множество всех $D$ пусто.

Цитата:

ZeZeeb в сообщении #695373 писал(а):

Бинарное отношение на пустом множестве существует по определению бинарного отношения $\mathcal R \subset \varnothing \times \varnothing = \varnothing$ и оно единственно$\mathcal R = \varnothing$, так как есть единственное подмножество пустого множества. Пустое.

Так и я о том же. Вот Вы определили отношение $\mathcal R$ на пустом множестве. Пусть у нас есть пустое множество и бинарное отношение $\mathcal R $ на нем, по определению, $\varnothing \mathcal R \varnothing$ - формула теории множеств, такая же, как, например $\varnothing = \varnothing$ или $\varnothing \in \varnothing$ или $\varnothing \notin \varnothing$. Она может быть истиной или ложной (или противоречивой). Т.к. $\mathcal R$ - единственно, остается понять что это за отношение, может быть равенство или неравенство или принадлежность ? Какие у этого единственного отношения свойства ? А если нам захотелось определить на пустом множестве сразу два или три бинарных отношения в одной теории ?

Если мы рассматриваем отношения именно на множествах, то формула $\varnothing \mathcal R \varnothing$ бессмысленна, так как $\varnothing\notin\varnothing$. И вообще никакой осмысленной формулы вида $c\mathcal{R} d$ нельзя написать, так как в области определения $\mathcal{R}$ никаких $c$ и $d$ нет.
С другой стороны, в ZFC часто рассматриваются отношения как произвольные множества пар, и любое выражение $(x,y)\in \mathcal{R}$ корректно.

[Lukin]

Xaositect в сообщении #695528 писал(а):

Если мы рассматриваем отношения именно на множествах, то формула $\varnothing \mathcal R \varnothing$ бессмысленна, так как $\varnothing\notin\varnothing$.

Странное утверждение, эта (общая) формула $\varnothing \mathcal R \varnothing$ бессмысленна, а эта $\varnothing\notin\varnothing$ нет.

Xaositect в сообщении #695528 писал(а):

И вообще никакой осмысленной формулы вида $c\mathcal{R} d$ нельзя написать, так как в области определения $\mathcal{R}$ никаких $c$ и $d$ нет.

Полностью с Вами согласен.

Xaositect в сообщении #695528 писал(а):

С другой стороны, в ZFC часто рассматриваются отношения как произвольные множества пар, и любое выражение $(x,y)\in \mathcal{R}$ корректно.

Я как раз за корректность. Классическое определение бинарного отношения через прямое произведение, применительно к пустому множеству не корректно. Так ?
Тогда хотелось бы уточнить, корректность того, что "в ZFC часто рассматриваются отношения как произвольные множества пар". На чем основано это неформальное соглашение ? Насколько оно корректно ?
Если оно не определено через прямое произведение, которое является корректным определением (если не применять его к пустому множеству), то через какие аксиомы определяется это произвольное соглашение о парах ? Насколько оно корректно ? Может быть это отдельная аксиома ?

[Xaositect]

Lukin в сообщении #695534 писал(а):

Странное утверждение, эта (общая) формула $\varnothing\mathcal{R}\varnothing$ бессмысленна, а эта $\varnothing\in\varnothing$ нет.

В теориях множеств без классов $\in$ не является отношением. Это неопределяемый символ, свойства которого задаются аксиомами. А $x\mathcal{R}y$ - это сокращение, и никто не мешает поставить ограничения, когда оно может быть употреблено.

Lukin в сообщении #695534 писал(а):

Я как раз за корректность. Классическое определение бинарного отношения через прямое произведение, применительно к пустому множеству не корректно. Так ?

Нет. Отношение на $X$ - подмножество декартова квадрата $X\times X$. В случае $X=\varnothing$ имеется единственное такое подмножество, а именно, $\varnothing$.

Lukin в сообщении #695534 писал(а):

Тогда хотелось бы уточнить, корректность того, что "в ZFC часто рассматриваются отношения как произвольные множества пар".
Если оно не определено через прямое произведение, которое является корректным определением (если не применять его к пустому множеству), то через какие аксиомы определяется это произвольное соглашение о парах ? Насколько оно корректно ? Может быть это отдельная аксиома ?

Любое множество пар является подмножеством какого-то декартова квадрата. Просто одно и то же множество пар может быть рассмотрено как отношение на любом множестве, содержащем некоторое минимальное, в частности, $\varnothing$ может быть рассмотрено как отношение на любом множестве.

[Lukin]

Спасибо, спорить дальше не хочется, думаю мои потуги не прошли даром