О гипотезе Лежандра

[vicvolf]

gris в сообщении #690896 писал(а):

Вы формулы прямо на ходу меняете. Увы, и этой поправки недостаточно. Ибо получается
$\pi(N^2,(N+1)^2)>\int_{N^2}^{(N+1)^2}{\frac {dt} {\ln(t)}}-0.2\big((N+1)\ln(N+1)+N\ln N\big)$
При достаточно больших $N$ опять получаем справа отрицательное число. То есть нижняя граница никак не переползает за ноль.

Это в принципе неверно! У Вас получается, что если взять интегральный логарифм на интервале от 2 до 5, то ошибка в определении количества простых чисел будет меньше, чем на интервале от 1000002 до 1000005, хотя там $1/\ln(x)$ меняется значительно меньше.
При больших x, когда подинтегральная функция меняется медленно ошибка в определении количества простых чисел на интервале зависит только от длины интервала [A,B):
$|\pi(g,A,B)-\int_{A}^{B}{\frac {dt} {\ln(t)}}|<0,1\sqrt{B-A}\ln(B-A)$

[gris]

Я лишь использовал Вашу формулу. Дело в том, что определённый интеграл имеет определённое значение, и его можно посчитать с любой точностью. Но оценка разности этого значения и значения функции $\pi$ на этом интервале, которое тоже однозначно определено для каждого интервала, по Вашей формуле даёт возрастание ошибки при удалении интервала от начала отсчёта.
Вы, наверное, имеете в виду, что убывает ошибка при оценке самого интеграла, поскольку производная подынтегральной функции стремится к нулю (хотя длина интервала возрастает), но это не спасает, ибо интеграл мы тоже можем оценить с двух сторон (прямоугольником и трапецией), но всё равно верхняя оценка количества простых для некоторого натурального квадрата больше нижней оценки для следующего квадрата. И мы никак не может получить требуемое неравенство.

Прочитал добавление. Вот уж пардон, так пардон. С чего это
$0.1\sqrt A\ln A+0.1\sqrt B \ln B<0.1\sqrt{|A-B|}\ln {|A-B|}$

Вы упорно вычитаете ошибки, вместо того, чтобы их складывать. Имею в виду ошибки оценки.

[vicvolf]

gris в сообщении #690896 писал(а):

Кстати, Вы хотите усилить гипотезу, доказывая, что между квадратами больше одного числа. Но достаточно показать, что есть хотя бы одно.

На этом интервале лежит ровно один квадрат, а мне надо показать, что плотность простых больше.

[gris]

Я имел в виду, конечно, простые числа. Квадраты же не могут быть таковыми. Хотя Вы правы, наверное. Я думал, что $\pi(A,B)=0.3$ уже гарантирует наличие одного простого числа. Если округление до целых идет в сторону уменьшения, тогда да, надо доказывать неравенство больше единицы. Но это даже утрудняет Вашу позицию.

[vicvolf]

gris в сообщении #690970 писал(а):

Я лишь использовал Вашу формулу. Дело в том, что определённый интеграл имеет определённое значение, и его можно посчитать с любой точностью. Но оценка разности этого значения и значения функции $\pi$ на этом интервале, которое тоже однозначно определено для каждого интервала, по Вашей формуле даёт возрастание ошибки при удалении интервала от начала отсчёта.

Я привел формулу на интервале от 2 до х. Конечно с увеличением х ошибка оценки возрастает, так как возрастает интервал и накапливается ошибка. Но можно взять другие точки для определения количества простых чисел, например 100000000 и 100100000. Что вы считаете, что в этом случае асимтотический закон распределения простых чисел для определения количества простых чисел на этом интервале использовать нельзя, так как он дает очень большую ошибку? На самом деле здесь можно использовать даже менее точную формулу $100000/\ln(100000000)$.

[gris]

Кстати, а откуда Вы взяли коэффициент $0.1$?
Если это из неравенства Чебышёва для нижнего и верхнего пределов известного отношения, то мы никак не можем использовать его для конкретных чисел.

Пока я верю Вам на слово, но даже из приведённых Вами оценок никак не следует доказательство гипотезы. Впрочем, я посмотрел Ваши предыдущие сообщения по теории чисел и подозреваю, что я просто не обладаю достаточными познаниями для ведения дискуссии.
Но в данной теме Вы допускаете какие-то странные описки.
Ну как бы из $|x|<2$ и $|y|<1$ выводите, что $|x-y|<1$.
Хотя я допускаю, что просто не достаточно разбираюсь в вопросе.
Кстати, тема очень интересна и для любителя.

[vicvolf]

gris в сообщении #690999 писал(а):

Кстати, а откуда Вы взяли коэффициент $0.1$?
Если это из неравенства Чебышёва для нижнего и верхнего пределов известного отношения, то мы никак не можем использовать его для конкретных чисел.

Нет, это не из Чебышева. Это из Цагира http://ega-math.narod.ru/Liv/Zagier.htm
Просто сделал на основании его данных небольшие оценки.

-- 04.03.2013, 12:33 --

gris в сообщении #690999 писал(а):

Пока я верю Вам на слово, но даже из приведённых Вами оценок никак не следует доказательство гипотезы.

Верить на слово нельзя. Для этого и диксуссируем.

-- 04.03.2013, 12:35 --

vicvolf в сообщении #690981 писал(а):

Я привел формулу на интервале от 2 до х. Конечно с увеличением х ошибка оценки возрастает, так как возрастает интервал и накапливается ошибка. Но можно взять другие точки для определения количества простых чисел, например 100000000 и 100100000. Что вы считаете, что в этом случае асимтотический закон распределения простых чисел для определения количества простых чисел на этом интервале использовать нельзя, так как он дает очень большую ошибку? На самом деле здесь можно использовать даже менее точную формулу $100000/\ln(100000000)$.

Почему нет реакции на это?

-- 04.03.2013, 12:37 --

gris в сообщении #690999 писал(а):

Но в данной теме Вы допускаете какие-то странные описки.
Ну как бы из $|x|<2$ и $|y|<1$ выводите, что $|x-y|<1$.

Большое спасибо за то, что заметили!

-- 04.03.2013, 12:51 --

gris в сообщении #690999 писал(а):

Впрочем, я посмотрел Ваши предыдущие сообщения по теории чисел и подозреваю, что я просто не обладаю достаточными познаниями для ведения дискуссии.
Хотя я допускаю, что просто не достаточно разбираюсь в вопросе.
Кстати, тема очень интересна и для любителя.

Я начал эту тему для того, чтобы показать пример использования понятия плотности одной последовательности в другой. Вы наверно читали мою тему "Плотность числовой последовательности". Там есть один интересный пример. Сравнение плотности простых чисел с плотностью последовательности $x^{1+1/n}$. При n=1 получаем плотность квадратов. Так вот плотность квадратов при любом значении n меньше плотности простых чисел (Гипотеза Лежандра). При n>1 получается очень интересно - смотрите здесь - topic65231-15.html

[gris]

Да, интересно. Но вот давайте исследуем Ваш пример.
Пусть $0.89\dfrac x{\ln x}<\pi(x)<1.11\dfrac x{\ln x}$

$0.89\dfrac {100100000}{\ln 100100000}<\pi(100100000)<1.11\dfrac {100100000}{\ln 100100000}$ и

$0.89\dfrac {100000000}{\ln 100000000}<\pi(100000000)<1.11\dfrac {100000000}{\ln 100000000}$

$4836095<\pi(100100000)<6031534$ и
$4831526<\pi(100000000)<6025836$ Откуда получим, что

$-1189741<\pi(100000000,100100000)<1200008$

Ну что это за оценка?

[vicvolf]

gris в сообщении #691029 писал(а):

Да, интересно. Но вот давайте исследуем Ваш пример.
Пусть $0.89\dfrac x{\ln x}<\pi(x)<1.11\dfrac x{\ln x}$
$0.89\dfrac {100100000}{\ln 100100000}<\pi(100100000)<1.11\dfrac {100100000}{\ln 100100000}$ и
$0.89\dfrac {100000000}{\ln 100000000}<\pi(100000000)<1.11\dfrac {100000000}{\ln 100000000}$
$4836095<\pi(100100000)<6031534$ и
$4831526<\pi(100000000)<6025836$ Откуда получим, что
$-1189741<\pi(100000000,100100000)<1200008$
Ну что это за оценка?

Вот я и говорю, что так оценивать нельзя! Все это оценки для больших интервалов, а у нас небольшой. Я же указал другую формулу $100000/\ln(100000000)$. Наверху длина небольшого интервала y-x. Количество простых на небольшом интервале определяется так. Берем плотность 1/ln(x) при достаточно большом значении x и пользуясь тем, что плотность при большом x медленно меняется то умножаем на длину небольшого интервала y-x. Вот здесь об этом - topic3553.html

[gris]

Не, в теорию чисел не полезу. Мы же с вами говорим не о числовых делах, а о почти школьных преобразованиях некоторых формул, чья истинность не подвергается сомнению.
Гипотеза Лежандра при своей глобальности очень локальна. Она говорит, что на каждом интервале между последовательными целыми квадратами есть простое число. В среднем их там целые кучи и чем дальше, тем больше. Но у простых есть войды произвольной длины, правда, опять же в среднем они располагаются чем длиньше, тем дальше. Но нет гарантии, что пара квадратов не залетят в такой войд. А все эти плотности и аппроксимации касаются среднего положения дел. А распределение простых таково, что даже это среднее не обеспечивает такой с виду очевидной гипотезы.

Вообще, меня немного напрягает отсутствие прочих собеседников в теме. Я начинаю думать, что несу полную чушь или говорю банальные вщи, которые всем очевидны. Что касается вывода наших неравенств, то так оно и есть, мне кажется. Я лишь указал на очевидные описки, которые Вы второпях допустили, и не претендовал на какие-либо размышления глубины ниже поверхностной. Но Вы же знаете...

[vicvolf]

gris в сообщении #691066 писал(а):

Гипотеза Лежандра при своей глобальности очень локальна. Она говорит, что на каждом интервале между последовательными целыми квадратами есть простое число. В среднем их там целые кучи и чем дальше, тем больше. Но у простых есть войды произвольной длины, правда, опять же в среднем они располагаются чем длиньше, тем дальше. Но нет гарантии, что пара квадратов не залетят в такой войд. А все эти плотности и аппроксимации касаются среднего положения дел. А распределение простых таково, что даже это среднее не обеспечивает такой с виду очевидной гипотезы.

Согласен. Если будет доказана гипотеза Римана, то это как раз будет означать равномерность распределения простых в среднем на большом интервале. Но этого не достаточно для доказательства гипотезы Лежандра.
Требуется доказательство гораздо более сильной равномерности простых, чтобы величина ошибки на конечном интервале была столь минимальной, чтобы доказать гипотезу Лежандра.
Я проверил гипотезу Лежандра при данной оценке на небольшом интервале - topic3553.html, но даже этой оценки, при предположении более сильной равномерности, простых чисел на небольших интервалах, для доказательства гипотезы Лежандра оказалось не достаточно.

gris в сообщении #691066 писал(а):

Вообще, меня немного напрягает отсутствие прочих собеседников в теме. Я начинаю думать, что несу полную чушь или говорю банальные вщи, которые всем очевидны. Что касается вывода наших неравенств, то так оно и есть, мне кажется.

Да, неравенства верны. Они как раз показали, что выполнения гипотезы Римана, на большом интервале, не достаточно для доказательства гипотезы Лежандра.

[Апис]

Гипотеза Лежандра, доказательство с помощью постулата Бертрана.
На интервале $\left( {{n^2},{{(n + 1)}^2}} \right)$ всегда есть простое число
Я доказал на интервале $\left( {{p_n},p_{n + 1}^2} \right)$ и соответственно на $\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)$ нет пробела между простыми числами, большего или равного ${p_{n + 1}} - 1$
${p_{n + 1}} - {p_n} < {p_{n + 1}} - 1$
Или что то же самое. На интервале, $\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)$ $\left( {{p_n},p_{n + 1}^2} \right)$, на любом отрезке величиной ${p_{n + 1}} - 1$ есть хотя бы одно простое число.
На интервале $\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)$ самая маленькая разница, между квадратами двух соседних чисел равна ${\left( {{p_n} + 1} \right)^2} - p_n^2$
Доказать, что эта наименьшая разница, при любом ${p_n}$ больше ${p_{n + 1}} - 1$
Этим доказательством, докажем и гипотезу Лежандра.
Доказать: При любом ${p_n}$
$\left[ {{{\left( {{p_n} + 1} \right)}^2} - p_n^2} \right] > {p_{n + 1}} - 1$

$p_n^2 + 2{p_n} + 1 - p_n^2 > {p_{n + 1}} - 1$

$2{p_n} + 1 > {p_{n + 1}} - 1$

$2{p_n} + 2 > {p_{n + 1}}$

Постулат Бертрана, доказанный Чебышевым. Первый из результатов, содержащихся в мемуаре «О простых числах» - доказательство постулата высказанного Ж. Бертраном в 1845г. Существует всегда простое число, большее чем (а) и меньшее (2а-2).
У нас возникла необходимость доказать $2{p_n} + 2 > {p_{n + 1}}$ существует всегда простое число ${p_{n + 1}}$ большее, чем ${p_n}$ и меньшее $2{p_n} + 2$ Доказанный постулат Бертрана, избавляет нас от такой необходимости. Существует всегда простое число, большее чем ${p_n}$ и меньшее $2{p_n} + 2$
И мы можем сказать.
При любом ${p_n}$

$\left[ {{{\left( {{p_n} + 1} \right)}^2} - p_n^2} \right] > {p_{n + 1}} - 1$
Неравенство верно.
И гипотеза Лежандра доказана.

[vorvalm]

Апис в сообщении #694950 писал(а):

Я доказал на интервале $(p_n,p^2_{n+1})$ и соответственно на$(p^2_n,p^2_{n+1}) $ нет пробела между простыми числами, большего или равного $p_{n+1}-1$
$p_{n+1}-p_n<p_{n+1}-1$

Получается $p_n>1$
Далее. На интервале (11,169) есть разность $d=127-113=14> 13-1$.

[Апис]

2.
Пробел между соседними простыми числами.
На интервале $\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)$ нет пробела между соседними простыми числами, большего или равного начальному интервалу.
То есть, на интервале, $\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)$ на любом отрезке величиной ${p_{n + 1}}$ есть хотя бы одно простое число.

Дадим четыре определения. 1. Начальный интервал. 2. Базисное число. 3. Базис от базисного числа. 4. Пробел.
1. Начальный интервал, $\left( {1,{p_{n + 1}}} \right)$ состоит только из базисов, от базисных чисел, с номерами от 1до (n).
2. Базисное число, это простое число, ${p_n}$ (n)-номер простого числа
3. Базис от простого (базисного) числа ${p_n}$ это все числа кратные ${p_n}$ и они будут называться - элементы базиса. Базисное число входит в свой базис.
4. Пробел, (интервал) между соседними простыми числами $\left[ {{p_t},({p_{t + 1}})} \right]$ $\begin{array}{l} {p_t} > {p_n} \\ {p_{t + 1}} < p_{n + 1}^2 \\ \end{array}$ состоит только из базисов, от базисных чисел, с номерами от 1до (n). И порядок расположения на пробеле, начала каждого базиса, отличается от порядка расположения базисных чисел, на начальном интервале.
Доказать:
Пробел между соседними простыми числами, на интервале $\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)$ всегда меньше, начального интервала.
При любом ${p_n}$ ${p_{n + 1}} > {p_{t + 1}} - {p_t}$ $\begin{array}{l} {p_t} > {p_n} \\ {p_{t + 1}} < p_{n + 1}^2 \\ \end{array}$
Предположим, ${p_{n + 1}} \le {p_{t + 1}} - {p_t}$
Проверим, может ли существовать пробел, больший или равный начальному интервалу.
Для этого попробуем из начального интервала, создать пробел хотя бы равный по величине. Но с другим расположением начал базисов, чем на начальном интервале.
Манипуляции с базисами проводим в рамках интервала $\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)$
На начальном интервале поменяем местами два базисных числа, и соответственно поменяются места расположения элементов этих двух базисов. Получим.
1, увеличение количества элементов базиса с большим базисным числом и
2, одновременно уменьшение количества элементов базиса, с меньшим базисным числом.
Но так как оба базиса меняются на одну величину, один увеличивается, другой уменьшается. Отсюда:
Во втором случае уменьшение количества элементов базиса больше, чем прибавление к количеству элементов базиса в первом случае. Количество элементов всех базисов, в сумме уменьшиться. А недостача замещается простым числом.
Передвигаем базис с большим базисным числом влево по начальному интервалу, а базис с меньшим базисным число вправо по начальному интервалу, если наоборот, мы пойдём назад к первоначальному интервалу.
Значит. Невозможно создать пробел, равный начальному интервалу.
Значит при любом ${p_n}$
$({p_{n + 1}}) > {p_{t + 1}} - {p_t}$
$\begin{array}{l} {p_t} > {p_n} \\ {p_{t + 1}} < p_{n + 1}^2 \\ \end{array}$
Это и есть доказательство того, что на интервале $\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)$ всегда
$({p_{n + 1}}) > {p_{t + 1}} - {p_t}$
На интервале $\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)$ нет пробела между соседними простыми числами, большего или равного ${p_{n + 1}}$
То есть, на интервале, $\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)$ на любом отрезке величиной ${p_{n + 1}}$ есть хотя бы одно простое число.

Гипотеза Лежандра, доказательство с помощью постулата Бертрана.
На интервале $\left( {{n^2},{{(n + 1)}^2}} \right)$ всегда есть простое число
Я доказал на интервале $\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)$ нет пробела между простыми числами, большего или равного ${p_{n + 1}}$
Или что то же самое. На интервале, $\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)$на любом отрезке величиной ${p_{n + 1}}$ есть хотя бы одно простое число.
На интервале $\left( {p_n^2,p_{n + 1}^2} \right)$ самая маленькая разница, между квадратами двух соседних чисел равна ${\left( {{p_n} + 1} \right)^2} - p_n^2$ Доказать, что эта наименьшая разница, при любом ${p_n}$ больше ${p_{n + 1}}$
Этим доказательством, докажем и гипотезу Лежандра.
Доказать: При любом ${p_n}$
$\left[ {{{\left( {{p_n} + 1} \right)}^2} - p_n^2} \right] > {p_{n + 1}}$
$p_n^2 + 2{p_n} + 1 - p_n^2 > {p_{n + 1}}$
$2{p_n} + 1 > {p_{n + 1}}$
Постулат Бертрана, доказанный Чебышевым. Первый из результатов, содержащихся в мемуаре «О простых числах» - доказательство постулата высказанного Ж. Бертраном в 1845г. Существует всегда простое число, большее чем (а) и меньшее (2а-2).
У нас возникла необходимость доказать $2{p_n} + 1 > {p_{n + 1}}$ существует всегда простое число ${p_{n + 1}}$ большее, чем ${p_n}$ и меньшее $2{p_n} + 1$ Доказанный постулат Бертрана, избавляет нас от такой необходимости. Существует всегда простое число, большее, чем ${p_n}$ и меньшее $2{p_n} + 1$
И мы можем сказать.
При любом ${p_n}$
$\left[ {{{\left( {{p_n} + 1} \right)}^2} - p_n^2} \right] > {p_{n + 1}}$
Неравенство верно.
И гипотеза Лежандра доказана.

[gris]

Я не смог вникнуть в тонкости базисных чисел, но ГЛ гораздо более сильное утверждение чем ПБ. Просто Вы неправильно сравниваете. ПБ мы должны применять не к $n$, а к $n^2$.

Применение ПБ к интервалу ГЛ невозможно, так как $n^2\gg 2n+1$

Пример: для $n=20$
ГЛ утверждает, что на интервале $(400,441)$ есть простое число.
ПБ утверждает, что на интервале $(400,800)$ есть простое число.

У ГЛ в 10 раз меньший интервал.