Как получить ещё степени пятёрки?

[Ktina]

Если число 164 записать в обратном порядке (461) и сложить с исходным числом, получится 625, четвёртая степень пятёрки.

А существуют ли ещё числа (помимо 164 и 461), которые в сумме со своими "обратными" (в десятичной записи) дают степень пятёрки с натуральным показателем?
И как эти числа найти?

У меня пока кроме перебора никакой идеи нет, но осуществлять такой перебор в уме бессмысленно.

-- 12.03.2013, 14:22 --

Покамест нашла ещё одну пару 263 и 362

[jodan]

Ktina в сообщении #694483 писал(а):

Если число 164 записать в обратном порядке (461) и сложить с исходным числом, получится 625, четвёртая степень пятёрки.

А существуют ли ещё числа (помимо 164 и 461), которые в сумме со своими "обратными" (в десятичной записи) дают степень пятёрки с натуральным показателем?
И как эти числа найти?

У меня пока кроме перебора никакой идеи нет, но осуществлять такой перебор в уме бессмысленно.

-- 12.03.2013, 14:22 --

Покамест нашла ещё одну пару 263 и 362

$(100x+10y+z)+(100z+10y+x)=5^a$

[Ktina]

jodan в сообщении #694489 писал(а):

$(100x+10y+z)+(100z+10y+x)=5^a$

Это только для трёхзначных. Кстати, других трёхзначных (ктоме 164, 461, 263, 362) с таким свойством больше нет.

[jodan]

Ktina в сообщении #694491 писал(а):

jodan в сообщении #694489 писал(а):

$(100x+10y+z)+(100z+10y+x)=5^a$

Это только для трёхзначных. Кстати, других трёхзначных (ктоме 164, 461, 263, 362) с таким свойством больше нет.

количество знаков не ограниченно?

[Ktina]

jodan в сообщении #694502 писал(а):

количество знаков не ограниченно?

Само собой.
Но однозначных, понятное дело, нет.
Нет также и чётнозначных, так как на 11 делится.
Все трёхзначные я нашла.
Остались пяти-, семи- и т. д.

[gris]

Необходимое условие: первая цифра степени должна быть равна или на единицу больше последней. Со второй цифрой те же соображения. То есть степень пятёрки должна начинаться на 52, 62 или 63. И третью можно поанализировать, но кроме $625$ в ближайших степенях я достойных кандидатов не увидел
Но если есть представление, то ещё одно получается сразу, так как $2+3=4+1=5$ (крайние цифры).

[Sphinx Pinastri]

Поиск чисел лучше поручить роботам. Они говорят, число 560 тоже подходит.
А других чисел меньше 1000000000 нет.

P.S.
Прямой перебор на Питоне проверяет около миллиона чисел в секунду.
Ktina, предложите лучший алгоритм поиска, а программистов хватает.
.

[Ktina]

Sphinx Pinastri в сообщении #694636 писал(а):

Поиск чисел лучше поручить роботам. Они говорят, число 560 тоже подходит.

А роботу не пришло в голову процессор, с каким числом его складывать? Если 065, то не было таких пряжек.

[Xaositect]

А чем Вам не нравится число 065?

[Ktina]

Xaositect,
Слишком волосатое оно, не в моём вкусе.

[Xaositect]

Ну исходное же число было хорошее. А а если некрасивые перевернутые не хочется рассматривать, то это надо в условии писать.

[Sender]

gris в сообщении #694560 писал(а):

Необходимое условие: первая цифра степени должна быть равна или на единицу больше последней.

Первая цифра степени может быть и единичкой. Т.е. степень может начинаться на 52, 53, 62, 63, 151, 152, 161, 162.

[gris]

Sender, это правильно. Вообще мне придумалась этакое необходимое но, по-моему, не совсем достаточное условие на степень пятёрки. Она должна быть "квазипалиндромом". То есть до половины десятичной записи $k$-тая с начала числа должна быть равна или на 1 больше $k$-той цифры с конца. При этом дополнительная единичка может вылезать и в начало числа. В этом случае считаем не с начала, а со второй цифры.
Если у нас есть такой "квазипалиндром", то разложить его на симметричные слагаемые не составляет труда. При этом количество вариантов возрастает экспоненциально с ростом длины числа.
То есть задача сводится к тому, чтобы отыскать квазипалиндромы среди степеней пятёрки. К счастью, неутомимый компьютер умеет с помощью флора и деления на десять считать первые и последние несколько чисел степени, не утруждая себя нахождением её середины. Конец степени вообще периодичен с периодом, зависящим от количества рассматриваемых цифр.
Вот за началом надо следить, ибо наблюдается переползание ошибки округления. Но с анализом первого миллиона степеней легко справляется и эксель.
И вот никак. Не находятся эти квазипалиндромы. С точки зрения теории вероятностей это естественно. Среди N значных чисел степеней пятёрки в среднем 1.2 штуки, доля квазипалиндромов катастрофически убывает, корреляции между ними не наблюдается, так что скорее всего таких степеней, кроме $625$ вообще нет
Хотя вдруг Если честно, то я лишь бегло просмотрел результаты, ибо автоматизировать процесс проверки было лень
Как обычно, я надеюсь, что сел в лужу, и "Ktina's 5-power seq" будет торжественно занесена в OEIS.