Геометрия окружностей

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте!

Обязательно добавьте в электронных ресурсах ссылку, если её нет:http://revolt33.narod.ru/matem/teachpictures/. Мне очень понравилось! Единственное, что довольно сложно. Берутся окружности и рассматриваются те же операции между ними, что и с прямыми, но они специально определяются. Например, "пересечение", "перпендикулярность", "расположение", хотя и сходны, но видоизменяются. Есть свои теоремы. Раньше я знал оттуда только инверсию, да и то постоянно забывал само определение. А оказывается, гораздо больше интересного.
Теперь вопрос для дискуссии: как Вы думаете, можно ли все теоремы исключительно с прямыми перевести на язык геометрии окружностей? Если нет, то в чём Вы видите ограничения? Существует ли аналогия и между другими теоремами обычной геометрии и геометрии окружностей, если считать, что прямая, в общем-то, частный случай окружности?

[provincialka]

Присоединяюсь к вопросу (но не к ответу). Как-то давно я выпустила книжечку про разные геометрии в составе евклидовой. Там, кроме обычных аффинной и проективной геометрий я упоминала и "круговую" (так я ее назвала, не зная устоявшегося названия). С геометрией у меня покончено, но интерес конкретно к этому вопросу остался. Насколько исследована круговая геометрия, кто ею занимался?

(Оффтоп)

ту свою книжку я не очень люблю вспоминать: ее очень плохо отредактировали. Представьте себе, в разделе проективной геометрии называли четырехвершинники или четырехсторонники ... четырехугольниками! А ведь читатели подумают, что я сама такое ляпнула

[Shtorm]

Nikolai Moskvitin в сообщении #694457 писал(а):

если считать, что прямая, в общем-то, частный случай окружности?

Ну хорошо, прямая - это окружность бесконечно большого радиуса. А как теперь аналитически по формулам перейти от уравнения окружности к уравнению прямой? (чтобы был как частный случай)?

[provincialka]

Например, так: $ax^2+ay^2 +bx+cy+d=0$. При $a=0$ будет прямая.

NikolaiMoskvitin, Ваша ссылка не работает.

Что касается разницы между прямыми и окружностями, самое очевидное: две окружности пересекаются в 2точках, а прямые - в одной. Обычная бесконечно удаленная прямая тут ее поможет: на ней "пересекаются" параллельные прямые. Соответственно, добавление к плоскости такой прямой превращает ее в проективную, топологически эквивалентную бутылке Клейна. Для "круговой" плоскости естественней добавить бесконечно удаленную точку, полученный объект гомеоморфен сфере.

[Someone]

provincialka в сообщении #709857 писал(а):

Обычная бесконечно удаленная прямая тут ее поможет: на ней "пересекаются" параллельные прямые.

??? Каждая прямая плоскости пересекается с бесконечно удалённой прямой (предполагаем, что плоскость расширена до проективной плоскости). Что касается параллельных прямых, то они пересекаются с бесконечно удалённой прямой в одной точке.

provincialka в сообщении #709857 писал(а):

Соответственно, добавление к плоскости такой прямой превращает ее в проективную, топологически эквивалентную бутылке Клейна.

Ни в коем случае проективная плоскость не эквивалентна бутылке Клейна. Это не гомеоморфные многообразия.

provincialka в сообщении #709857 писал(а):

NikolaiMoskvitin, Ваша ссылка не работает.

Он, видимо, не умеет правильно оформлять ссылки. Для этого есть тег URL. Но её можно скопировать и вставить в адресную строку браузера. У меня сработала.
http://revolt33.narod.ru/matem/teachpictures/

[provincialka]

Черт, все позабыла... спасибо, Someone, за поправки! Но основная идея все же остается: проективная и "круговая" плоскости не гомеоморфны. Правильно я помню, что проективная плоскость - односторонняя?

По ссылке пока не разбиралась, но сразу возникает мысль: окружность разбивает плоскость на две части, а прямая проективную плоскость - нет.

Если же рассматривать прямые не на проективной плоскости, а на "сферической", т.е. дополненной одной бесконечно удаленной точкой, то они все будут пересекаться между собой, что для окружностей не выполняется. Так что эти две системы линий не изоморфны.

(Оффтоп)

странно, я пыталась копировать ту ссылку, не открывалось.... А у Вас, someone, вроде открылась. Впрочем, я ее не копировала, а переписывала, не умею копировать на планшете

А вообще-то меня удивляет, что про проективную плоскость я слышала из разных источников, а про "круговую" - нет. Когда писала книжку - пришлось самой выдумывать. Не может быть, чтобы такаяе стественная часть геометрии не была исследована. Почему же она менее популярна, чем проективная?

[provincialka]

Наконец-то посмотрела текст по ссылке. Очень интересно и красиво! Будет побольше времени - разберусь. Тем более, что летом у меня будут ученики в физ-мат лагере, детям это как раз интересно!

[iifat]

provincialka в сообщении #709902 писал(а):

окружность разбивает плоскость на две части, а прямая проективную плоскость - нет

Это, простите, как? Вы берётесь соединить две любых точки проективной плоскости линией, не пересекающей прямую?

[provincialka]

Не уверена. Я думала, там вообще одна часть. Поверхность-то односторонняя. Мне казалось, что точки "с двух сторон" можно соединить куском прямой, проходящим через бесконечно удаленную точку, разве не так? (в собственной части плоскости это будет "внешняя часть" прямой, за вычетом отрезка). Разве эта прямая пересекает (второй раз) исходную? Они же не параллельны, значит, пересекают бесконечно удаленную прямую в разных точках.

Но вообще я подумаю, я все уже позабыла. Попозже отпишусь. Или Вы меня просветите.

Но какая-то разница в расположении прямых и окружностей все же есть.

[Алексей К.]

provincialka в сообщении #709857 писал(а):

Например, так: $ax^2+ay^2 +bx+cy+d=0$. При $a=0$ будет прямая.

Добавлю кой-чего.
Здесь уместна нормировка. А именно, если исходить из $A(x^2+y^2)+2Bx+2Cy+D=0$, то она имеет вид

$$B^2+C^2-AD=1.$$

Она следует из того, что окружность кривизны $k$, выходящая из точки $x_0,y_0$ под углом $\tau$, имеет уравнение

$$ F(x,y)\equiv k[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2]+2(x-x_0)\sin\tau-2(y-y_0)\cos\tau=0.$$

При соблюдении указанной выше нормировки уравнение, например, серединной окружности, будет $F_0(x,y)=F_1(x,y)+F_2(x,y)$ (будь то даже биссектриса двух прямых). Попытка его отнормировать покажет, является ли полученная окружность действительной или мнимой.

(А уравнение радикальной оси --- $L(x,y)\equiv k_1F_2-k_2F_1=0$).

[Shtorm]

provincialka в сообщении #709857 писал(а):

Например, так: $ax^2+ay^2 +bx+cy+d=0$. При $a=0$ будет прямая.

Если выделим полные квадраты и приведём уравнение окружности к стандартному виду, то получим следующее:

$$\left ( x+\frac{b}{2a}\right ) ^2+\left ( x+\frac{c}{2a}\right ) ^2=\frac{b^2+c^2-4ad}{4a^2}$$

Таким образом, чтобы радиус уходил на бесконечность, нужно либо, чтобы коэффициент $d$ был отрицательным, а коэффициент $a$ стремился к нулю справа, либо, чтобы коэффициент $d$ был положительным, а коэффициент $a$ стремился к 0 слева.
Правильно рассуждаю?

[Алексей К.]

Неправильно. "Стандартный вид" исключает окружность нулевой кривизны. Рассуждение беспредметно.

[provincialka]

Еще раз обдумала отклик:

Someone в сообщении #709887 писал(а):

provincialka в сообщении #709857 писал(а):

Обычная бесконечно удаленная прямая тут ее поможет: на ней "пересекаются" параллельные прямые.

??? Каждая прямая плоскости пересекается с бесконечно удалённой прямой (предполагаем, что плоскость расширена до проективной плоскости). Что касается параллельных прямых, то они пересекаются с бесконечно удалённой прямой в одной точке.

И в чем разница? Я то же самое и говорю. Что две прямые пересекаются ровно в одной точке. В отличие от окружностей.

Соответственно, ответ iifat. Возьмем прямую и пересечем ее другой. Из второй прямой вырежем кусок рядом с точкой пересечения. Оставшаяся часть не имеет пересечения с первой прямой и соединяет две точки "с разных сторон"от первой прямой. Потому что прямая на проективной плоскости является замкнутой линией.

Итак, найдены отличия прямых от окружностей:
1. Через две точки проходит одна прямая, но бесконечное число окружностей
2. Две окружности пересекаются в 2 точках, а две прямые - в одной.
3. Естественным "замыканием" плоскости прямых является проективная плоскость (одностороння поверхность, которую прямая не делит на 2 части). Для плоскости окружностей таким замыканием будет бесконечная сфера.

[provincialka]

Nikolai Moskvitin в сообщении #694457 писал(а):

Теперь вопрос для дискуссии: как Вы думаете, можно ли все теоремы исключительно с прямыми перевести на язык геометрии окружностей? Если нет, то в чём Вы видите ограничения? Существует ли аналогия и между другими теоремами обычной геометрии и геометрии окружностей, если считать, что прямая, в общем-то, частный случай окружности?

Вопрос, вообще-то не очень понятен. Чего автор хочет? Заменить прямые окружностями и проверить, та же ли эта геометрия? Ясно, что не та: окружностей "больше". В такой геометрии нет даже треугольника как трехвершинника, если только трехсторонник.

Другое дело, что геометрия окружностей очень интересная, но я, к сожалению, ничего из нее не знаю, кроме понятий "инверсия" и "радикальная ось, радикальный центр" окружностей.

Есть ли еще хорошая литература на эту тему, кроме упомянутого выше сайта?

[Алексей К.]

Об окружностях любили писать Г. С. М. Коксетер ("Новые встречи с геометрией", статьи), и Dan(iel) Pedoe.
Книга Моденов П.С. Задачи по геометрии, если не ошибаюсь, целиком посвящена задачам с окружностями.