Тензорное исчисление

[schoolboy1]

В учебнике Коренева Г.В. "Тензорное исчисление" http://mirknig.com/knigi/1181166691-tenzornoe-ischislenie.html при рассмотрении темы "обратный тензорный признак" в примере №2 на стр.34 определяется природа объекта $g_{pq}$. При этом применён метод симметрирования и альтернирования для $g_{pq}$. Является ли это необходимостью?

В выражении:
$(C_{ip}C_{kq}G_{ik} - g_{pq})b_{p}b_{q}=0$
очевидно: $(C_{ip}C_{iq}G_{ik} - g_{pq})=0$
Поэтому: $g_{pq}=C_{ip}C_{kq}G_{ik}$
Что прямо свидетельствует о природе объекта $g_{pq}$-т.е. это истинный тензор 2-го порядка.Безо всякого альтернирования.
(Не смог набрать $g_{ik}$ с "чёрточкой" как в учебнике, поэтому обозначил $G_{ik}$).

[Oleg Zubelevich]

читайте лучше "линейную алгебру и многомерную геометрию " Ефимова Розендорна
А потом Дубровина Новикова Фоменко "Современная геометрия"

[Munin]

schoolboy1 в сообщении #692066 писал(а):

В выражении:
$(C_{ip}C_{kq}G_{ik} - g_{pq})b_{p}b_{q}=0$
очевидно: $(C_{ip}C_{iq}G_{ik} - g_{pq})=0$

Не-а. Если бы было
$(C_{ip}C_{kq}G_{ik} - g_{pq})a_{p}b_{q}=0,$
то из этого бы следовало, что
$C_{ip}C_{kq}G_{ik} - g_{pq}=0,$
а вот
$(C_{ip}C_{kq}G_{ik} - g_{pq})b_{p}b_{q}=0$
- более слабое утверждение. Подумайте, ведь тензор $A_{pq}$ имеет $n^2$ координат, а вектор $b_{p}$ - только $n,$ так что $b_{p}b_{q}$ заведомо пробегает меньше значений, чем $A_{pq}.$ В этой системе уравнений только $n(n+1)/2$ уравнений независимы, и ей удовлетворяет любой антисимметричный тензор $A_{pq}=-A_{qp}.$

schoolboy1 в сообщении #692066 писал(а):

(Не смог набрать $g_{ik}$ с "чёрточкой" как в учебнике, поэтому обозначил $G_{ik}$).

$\bar{g}_{ik}$ $\bar{g}_{ik}$? $\overline{g_{ik}}$ $\overline{g_{ik}}$?

[schoolboy1]

Цитата:

Munin писал в сообщении post692146.html#p692146 :

Не-а. Если бы было
$(C_{ip}C_{kq}G_{ik} - g_{pq})a_{p}b_{q}=0,$
то из этого бы следовало, что
$C_{ip}C_{kq}G_{ik} - g_{pq}=0,$
а вот
$(C_{ip}C_{kq}G_{ik} - g_{pq})b_{p}b_{q}=0$
- более слабое утверждение. Подумайте, ведь тензор $A_{pq}$ имеет $n^2$ координат, а вектор $b_{p}$ - только $n,$ так что $b_{p}b_{q}$ заведомо пробегает меньше значений, чем $A_{pq}.$ В этой системе уравнений только $n(n+1)/2$ уравнений независимы, и ей удовлетворяет любой антисимметричный тензор $A_{pq}=-A_{qp}.$

Коренев Г.В. применив метод симметрирования и альтернирования для $g_{pq}$, далее не сомневается, что $b_{p}b_{q}\not=0$, очевидно в силу того, что вектор $b_{p}$- выбирается произвольно по условию задачи. И на этом основании смело приравнивает к нулю симметричную часть, откуда и следует окончательный вывод:
$S_{pq}=C_{ip}C_{kq}\bar{S}_{ik}$.

Начал читать Ефимова и Розендорна, но логику Коренева тоже хочется понять.

[Munin]

Вот именно, что симметричную часть приравнивает, а не весь тензор целиком.

[schoolboy1]

Munin в сообщении #692532 писал(а):

Вот именно, что симметричную часть приравнивает, а не весь тензор целиком.

Почему же в выражении для всего тензора: $(C_{ip}C_{ik}\bar{g}_{ik}-g_{ip})b_{p}b_{q}=0$, неправомерно исходить из того же самого предположения, которое не кажется ложным для симметричной части, а именно: $b_{p}b_{q}\not=0$ ?
Сколько бы значений не пробегал объект $b_{p}b_{q}$, если он не принимает нулевых значений в одном случае, то почему это ставится под сомнение в другом случае?

-- 11.03.2013, 07:47 --

Читаю учебник Ефимова и Розендорна "Линейная алгебра...".
Складывается мнение, что авторы необоснованно загромождают материал теоремами, смысл которых очевиден и не требует доказательств. Например теорема:" Разложение вектора по базису-единственно". А кто бы сомневался? непонятно. Разложение- это попросту проецирование, т.е. проведение перпендикулярных отрезков прямых. О каких вариациях можно здесь говорить?
Далее.
Теорема: "Ранг системы линейно независимых векторов равен рангу матрицы". Почему надо доказывать это очевидное утверждение? Матрица составлена из координат векторов записанных в строки. Сколько независимых строк, столько же будет и независимых столбцов.А это и есть ранг матрицы.
Если доказательства приведённые в учебнике не являются излишними, то в чём их смысл?

[Munin]

Не "исходите из предположений", а распишите уравнения, и попробуйте их решить. Возьмите для примера какие-нибудь тензоры в 2-х или 3-хмерном пространстве. Вам многое сразу станет ясно.

schoolboy1 в сообщении #693948 писал(а):

Например теорема:" Разложение вектора по базису-единственно". А кто бы сомневался? непонятно.

В математике многое, что "очевидно", на самом деле требует доказательств. Более того, в сложных случаях оно может оказаться на самом деле неверным. Вы учли, например, бесконечномерные пространства и базисы с бесконечным числом векторов?

[schoolboy1]

Munin в сообщении #694099 писал(а):

Не "исходите из предположений", а распишите уравнения, и попробуйте их решить. Возьмите для примера какие-нибудь тензоры в 2-х или 3-хмерном пространстве. Вам многое сразу станет ясно.

Благодарю за участие.
Проблема в том, что я не могу "взять какой-нибудь тензор". Стараюсь понять как их "брать". Механически переписывать буквы с индексами ничего не дает. Что значит-"решить тензор"? Из того, что прочитал, пока не понятно как их решать.

[espe]

Обозначим $T_{pq}=C_{ip}C_{kq}G_{ik} - g_{pq}.$ На $T_{pq}$ имеем уравнение $T_{pq}b_pb_q=0,$ котрое выполняется для любых $b_q$.

Любой тензор второго ранга можно представить в виде симметричного $T_{(pq)}$ и антисимметричного $T_{[pq]}$ тензоров $T_{pq}=T_{(pq)}+T_{[pq]}$. Подставляем в уравнение, получаем $(T_{(pq)}+T_{[pq]})b_pb_q=T_{(pq)}b_pb_q=0$, так как $T_{[pq]}b_pb_q\equiv0$.

То есть имеем уравнение только на симметричную часть тензора $T_{(pq)}b_pb_q=0$. В силу произвольности векторов $b_p$ получаем $T_{(pq)}=0$. На антисиммитричную часть тензора уравнения нет и она остаётся произвольной.

[Munin]

schoolboy1 в сообщении #694381 писал(а):

Проблема в том, что я не могу "взять какой-нибудь тензор". Стараюсь понять как их "брать". Механически переписывать буквы с индексами ничего не дает.

Тензор с двумя индексами - это матрица $n\times n.$ Вот её и возьмите. Пусть с произвольными элементами, или с какими захотите. И вот с ней и упражняйтесь. Надеюсь, матрицы вам знакомы?

schoolboy1 в сообщении #694381 писал(а):

Что значит-"решить тензор"?

Ничо не значит. Я таких слов не употреблял. Это примерно на уровне "решить число". Тензор - это просто объект, а не задача, которую можно решать.