Момент инерции относительно оси

[Limit79]

Вычислить момент инерции относительно оси Ox кривой: $y=e^{-2x}$, $x \in [0;+\infty)$.

Искомый момент инерции вычисляется по формуле: $S_{x} = \int\limits_{a}^{b} \gamma y dl$, где $dl = \sqrt{1+(y'(x))^2} dx$.

Нахожу:

$y'(x) = -2e^{-2x}$

$dl = \sqrt{1+(-2e^{-2x})^2} = \sqrt{1+4e^{-4x}}dx$

Тогда:

$S_{x} = \int\limits_{0}^{+\infty} \gamma e^{-2x} \sqrt{1+4e^{-4x}}dx$.

Я так понимаю, что плотность $\gamma = const$, тогда:

$S_{x} = \gamma \int\limits_{0}^{+\infty} e^{-2x} \sqrt{1+4e^{-4x}}dx$.

И с этим интегралом ступор. Помогите, пожалуйста.

[gris]

Возьмите интеграл как неопределённый. Заменой он легко сводится к $\int \sqrt{1+t^2}\, dt$, а этот уж почти табличный или берётся черех какие-нибудь гиперболические подстановки

[Limit79]

gris
Заменами я пришел к $\int \frac{\gamma}{2} \sqrt{1+4s^2} ds $, который берется с помощью замены $s = \frac{\tg(p)}{2}$.

Просто думал может тут есть какая-нибудь хитрость...

-- 09.03.2013, 20:56 --

Единственное что, после этих замен, у меня не получается равенства - исходный не равен тому, который получился в итоге:

(Оффтоп)

-- 09.03.2013, 21:06 --

Равенство нарушается после последней замены.