Несобственный интеграл

[Limit79]

Необходимо установить сходится или расходится интеграл: \int\limits_{0}^{2} \frac{dx}{\sqrt[3]{1-x}}$.

\int\limits_{0}^{2} \frac{dx}{\sqrt[3]{1-x}} = \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{1-x}} + \int\limits_{1}^{2} \frac{dx}{\sqrt[3]{1-x}}$

Первый интеграл:

\int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{1-x}} = \lim\limits_{\epsilon \to 1-0} \int\limits_{0}^{\epsilon} \frac{dx}{\sqrt[3]{1-x}} = \lim\limits_{\epsilon \to 1-0} (-\frac{3}{2} \cdot (1-\epsilon)^{\frac{2}{3}} + \frac{3}{2} \cdot (1-0)^{\frac{2}{3}}) = 0 + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

Второй интеграл:

\int\limits_{1}^{2} \frac{dx}{\sqrt[3]{1-x}} = \lim\limits_{\epsilon \to 1+0} \int\limits_{\epsilon}^{2} \frac{dx}{\sqrt[3]{1-x}} = \lim\limits_{\epsilon \to 1+0} (-\frac{3}{2} \cdot (1-2)^{\frac{2}{3}} + \frac{3}{2} \cdot (1-\epsilon)^{\frac{2}{3}}) = -\frac{3}{2} \cdot (-1)^{\frac{2}{3}} + +0 = -\frac{3}{2} \cdot (-1)^{\frac{2}{3}}$

Область определения $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$ - луч $[0:+\infty)$, то есть второй интеграл расходится, и, соответственно исходный интеграл расходится.

Но что-то мне подсказывает, что второй интеграл таки будет сходится и равен $-\frac{3}{2}$, и исходный будет сходится, и равен $\frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0$

Помогите дойти до истины, пожалуйста

[gris]

Да, он будет равен нулю. Тут дело в интерпретации корня. Кубический корень определён для отрицательных чисел, а его представление в виде степени — не определено. Более того, многие математические пакеты будут в этом случае выносить вас в комплексную область.
Чтобы этого не случилось, достаточно на интервале $(1,2]$ заменить вид функции на тождественный $\dfrac {1}{\sqrt [3]{1-x}}=\dfrac {-1}{\sqrt [3]{x-1}}$ и спокойно интегрировать. Получим $-2/3$, а в сумме $0$.

[Limit79]

gris
Насколько красивый и простой выход из ситуации (это я про вынос $-1$ из под корня) - спасибо огромное!