Треугольник, окружность и процесс сжатия/растяжения

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте!

На днях придумалась такая задача (которую я не решал ещё):

Пусть дан треугольник и произвольная окружность внутри него, $a$, $b$, $c$-расстояния от её центра до сторон треугольника, которые составляют $d$,$e$,$f $(ясно, что достаточно любых двух из них). Окружность подвергается сжатию/растяжению так, чтобы она прошла через одну вершину треугольника (может быть или одна из этих операций, или обе), затем так, чтобы прошла через другую, затем так, чтобы прошла через третью. Эта операция продолжается до тех пор, пока все три вершины не будут лежать на эллипсе. Найти зависимость между числом шагов и получаемым эксцентриситетом.

Неявная гипотеза: этот эксцентриситет может быть любым.

Во-первых, следует доказать, что существует алгоритм, переводящий любую окружность внутри треугольника в его описанную (вписанную) окружность.

Дальше можно, например, описать около данной окружности прямоугольник со сторонами, параллельными высоте и стороне треугольника и построить гомотетичный ему прямоугольник с вершиной в вершине треугольника. Дальше вроде считается просто...только громоздко. Предполагаю, что в этом случае всего шагов будет ровно 6 (в общем случае).

Но я сам понимаю, что наверняка существует много других эллипсов, которые могут получиться в результате подобных преобразований. И всё же выдвигаю гипотезу, что существует зависимость между числом сжатий/растяжений и эксцентриситетом получаемого эллипса.

[gris]

Пардон, но около окружности из прямоугольников можно описать только квадрат.
Говоря о сжатии/растяжении Вы имеете в виду только гомотетию? Тогда эллипса никак не получить.

[Nikolai Moskvitin]

gris в сообщении #692957 писал(а):

Говоря о сжатии/растяжении Вы имеете в виду только гомотетию?

Нет, не только! Я некорректно построил пример. И намудрил с прямоугольником... :) Тогда так: описываем квадрат по указанной в первом сообщении схеме, растягиваем или сжимаем чертёж окружности вместе с квадратом так, чтобы его сторона легла на высоту, и теперь растягиваем получившийся эллипс до тех пор, пока он не пройдёт через вершину.

[gris]

Если не применять параллельных переносов, то потребуется 4 сжатия/растяжения во взаимно перпендикулярных направлениях, чтобы перевести одну окружность в другую .
Вообще, если рассматривать вписанные и описанные треугольники, то есть целая теория, связанная с этим. Например, вписанный эллипс Штейнера, который касается сторон в их серединах. Он единственен, а всего вписанных эллипсов много. И описанный ЭШ тоже имеет какие-то экстремальные свойства.
Может быть Вы имеете в виду произвольные аффинные преобразования плоскости?

Может быть такой алгоритм: Вписываем в маленькую окружность произвольный треугольник. Потом его вместе с окружностью одним аффинным преобразованием переводим в большой треугольник. Получаем описанный эллипс. Сколько маленьких треугольнико, столько и эллипсов.

[Nikolai Moskvitin]

gris в сообщении #692989 писал(а):

Может быть Вы имеете в виду произвольные аффинные преобразования плоскости?

Да, произвольные. Просто я видимо на этот раз некорректно поставил вопрос. Надо уточнить: найти зависимость между минимальным числом шагов при произвольных аффинных преобразованиях плоскости и эксцентриситетом получаемого эллипса. Всё равно некорректность остаётся. Но лучше уже не получается.

[gris]

Если брать произвольные аффинные преобразования, то таковое однозначно задаётся треугольником и его образом (с учётом порядка вершин). По описанному мной алгоритму мы сможем перевести окружность в описанный около треугольника эллипс с произвольным (мне кажется) эксцентриситетом за одно аффинное преобразование. Если же надо окружность переводить в описанную окружность, то о каком эксцентриситете идёт речь?
Или же Вы хотите аффинное преобразование представлять в виде композиции аффинных преобразований определённого вида?

[Nikolai Moskvitin]

gris в сообщении #693007 писал(а):

Или же Вы хотите аффинное преобразование представлять в виде композиции аффинных преобразований определённого вида?

Скорее так. Но мне кажется всё-таки, что вопрос нужно снять. А Вы как думаете?

[gris]

Задачи, даже поставленные очень расплывчато, могут вызвать большой пучок разнообразных идей, а сами при конкретизации получить тривиальное решение. Так что любая постановка и её развитие имеют смысл. Я с интересом читаю Ваши сообщения, потому что в них всегда есть зародыши свежих идей, даже концепций, но Вы, как правило, оставляете своих детищ на произвол судьбы .